数学分析练习题文档格式.docx

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（2）

解

（1）注意到，有

因此,，即在（0，0）处连续.

（2）注意到,故在（0，0）处不连续.

5讨论函数在点处的偏导数的存在性.

解由定义知：

6试讨论函数在处的可微性.

解.因为,

所以,,

其中,，

由此知在处可微.

7设,而,.求,.和

解.由于,,,,于是

8设是某可微函数的全微分，求的值.

解不妨设该可微函数为，则按定义可得

，，

由此知.

从而又得.

联系到上面第一式，有

或,

从而.

9设.求,.

解这里是以和为自变量的复合函数,它可写成如下形式,,.由复合函数求导法则知

.

于是

10设在上可微函数满足+，试证：

在极坐标系里只是的函数.

证对于复合函数，,由于

，=+，

因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数.

第十一章.隐函数

1设是由方程，求.

解方程两边对求偏导，有,因而.

方程两边对求偏导，有,

因而.故.

2设,求.

解方程组两边对求偏导得到,因此有

，。

方程组两边对求偏导得到,因此

.

3设由方程所确定，试求.

解对原方程两端对求导，可得，从而知

.

4设由方程所确定，试求.

解对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有

，即，

再对上式两端对求导，得

5证明：

方程所确定的隐函数满足

证明对方程两边分别对和求偏导数，有

，

分别解得，，

于是，得到

6试求椭球面内接最大长方体的体积.

解易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。

设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件下的最值问题。

设辅助函数为,,则有

从中可得出唯一解，，。

根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积

7求表面积为,而体积最大的长方体的体积.

解设长，宽，高分别为，则问题变为求函数的最大值，联系方程为.设辅助函数为

，则有

解方程组得到，因而最大体积为.

8求空间曲线，，，在点（对应于）

处的切线方程和法平面方程.

解将代人参数方程，得点，该曲线的切向量为

T=（,

于是得切线方程为

法平面方程为=0，即

9求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.

解设.由于在全空间上处处连续,在处于是,得切平面方程为

即.法线方程为.

第十三章.重积分

1设是由直线和围成,试求的值.

解先对积分后对积分.

由分部积分法,知.

2设是由矩形区域，围成,试求的值.

解由于则

3设=,试求的值.

解利用极坐标变换

4试用变量代换计算下面的积分

（1）,D由围成.

（2）,.

解

（1）令，则D变成，且积分成为（

（2）令，则D变成，且原积分成为

5设是上的正值连续函数，试证

，其中是，.

证明由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此

6计算,其中为由平面,,,,与所围成.

解在平面上的投影区域为,于是

7计算,

其中积分区域为，的公共部分.

解法1用球坐标计算积分，积分区域分解成；

，其中

；

，

=.

解法2用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有

8变换为球面坐标计算积分.

解积分区域变换为球面坐标为.

于是,

=

9设函数连续，,

其中，，求和.

解因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为

，所以用柱坐标法比较方便．

于是,.利用洛必达法则,有

10.求曲面被柱面与平面所割下部分的面积.

解曲面方程表示为,,,

于是所求面积

S=.

第十四章.曲线与曲面积分

1计算，其中L是摆线

的一段（）.

解由,,可得,,则=.

2计算，其中为以，，，为顶点的正方形封闭围线.

解段：

直线方程，，

段：

于是有，=0.

3计算，其中为四分之一

的边界，依逆时针方向.

解设，，则

原式＝

＝.

4解答下列问题

（1）设是光滑弧上的连续函数，长度记为，则

，，

（2）设，，则，

（3）设是曲线上从到之线段，证明:

解

（1）注意到柯西不等式

。

（2）由于，，

可知.采用极坐标，可得

由此知,利用题

（1），有

，

（2）因为，所以

，。

将曲线用参数式表示，即令，，且取顺时针方向为正，可知

5判别下列表达式.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.

解设，因为,

则是某函数的全微分.且

6求,其中是点A（2,0）到点O（0,0）的上半圆周.

解用轴上直线段,使上半圆周和直线段构成封闭曲线.设,.有

于是,由格林公式知

=.

其中在直线段上,有,,则

因此.

7计算下列积分

（1），是中的一条简单光滑闭曲线，在上连续可微.

（2），是从点到点的直线段,是上的连续函数.

解

（1）由可知

，,

其中是所围区域，由格林公式,可得

（2）由,可知，当

时，有。

从而取点。

并作，使形闭曲线，记所围区域为，于是

8求曲面被平面截下部分之曲面面积S.

解由得，从而。

注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有

9计算曲面积分,其中为圆锥面被曲面所割下的部分.

解对于圆锥面，则，

在平面上投影区域为：

，于是

10计算，其中S是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.

解曲面S1取负侧，而投影区域为D1：

，于是应用极坐标可得

曲面S2取正侧，而投影区域为D2：

2，于是应用极坐标可得

于是,.

11.求,其中S是边长为的正方体的外侧.

解利用高斯公式,得

12计算,其中是圆周,，若从轴正向看出，L是沿逆时针方向运行.

解平面的法线方向单位向量为，围成方程为依斯托克斯公式得，