全国统一考试考前适应性数学文科试题三及解析.docx
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全国统一考试考前适应性数学文科试题三及解析
绝密★启用前
2018届高考考前适应性试卷
文科数学（三）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由中不等式变形得，解得，即，，故选B．
2．下列命题中，，为复数，则正确命题的个数是（）
①若，则；②若，，，且，则；
③的充要条件是．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，在复数集中可得，对于①，若，则，错误，如，，故①错误；②中的复数不能比较大小，故②错误．③中，时也成立，故③错误．故选A．
3．设为等比数列的前项和，，则（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】根据题意，在等比数列中有，解得或，则或．故选C．
4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由三视图可知：
该几何体为四棱锥，由体积公式易得．
故选A．
5．已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据诱导公式得到，，
结合两式得到．故答案为：
C．
6．已知函数，执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，从而模拟程序运行，可得程序框图的功能是求
时的最小值，解得，，则输出的值是．故选C．
7．如图，在圆中，若，，则的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，
过点作交于点，连接，则为的中点，，
∴．又，，
，故选C．
8．实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，
∴，∴，综上，可得．故选A．
9．已知变量，满足约束条件，则的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由变量，满足约束条件，画出可行域如图所示，
则的几何意义是可行域内的点与连线的斜率不小于，由图形可知，直线与直线的交点为，直线与的交点为，∴的概率是，则的概率是．故选D．
10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于是定义在上的奇函数，∴，且在上为增函数，
∴是上的增函数，∵，所以，∴，∴．故选A．
11．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在棱上取一点，使得，，，则平面，
又平面，，平面平面，又平面平面，平面平面，，，故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为，，，所以球的表面积为．故选C．
12．在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，
由平行于轴得，则，所以的面积，又，则，，由焦半径公式，得，因此代入双曲线方程得，可得，，即．故选C．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
13．命题“，”的否定是__________．
【答案】，．
【解析】命题“，”的否定是“，”．
即答案为，．
14．在中，角的平分线长为，角，，则__________．
【答案】．
【解析】设角的平分线为，由正弦定理得，即，得，，，，．即答案为．
15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且满足，点为原点，则的面积为__________．
【答案】．
【解析】如图，
由题可得，，由，所以，又根据可得，即，即，可以求得，，所以点的坐标为或，，即答案为2．
16．已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】由题得．，．
∴．∵，∴，．
由得，即的图象与直线恰有两个交点，结合图象可知，即．故填．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
（1）当时，，得，
当时，有，
所以，
即，所以时，，
所以是公比为，首项为的等比数列，
所以，当时，满足该通项公式，
故通项公式为．
（2），
．
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，．
（1）求证：
平面平面；
（2）若点为中点，求三棱锥的体积．
【答案】
（1）见解析；
（2）．
【解析】
（1）在中，有，
，同理可得：
，平面，
又平面，
平面平面．
（2）由为中点，可知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半．
由
（1）知平面，则，
故所求体积为．
19．（12分）在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式．我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”．某电影院在甲地随机调查了位年龄在岁到岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如下表：
（1）以年龄岁为分界点，请根据个样本数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；
小于45岁
不小于45岁
合计
“有习惯”的人数
“无习惯”的人数
合计
100
（2）已知甲地从岁到岁的市民大约有万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为元，则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影（为常数）．已知票价定为元的某电影，票房达到了万元．某新影片要上映，电影院若将电影票定价为元，那么该影片票房估计能达到多少万元？
参考公式：
，其中．
参考临界值
【答案】
（1）见解析；
（2）77万元．
【解析】
（1）
小于45岁
不小于45岁
合计
“有习惯”的人数
52
18
70
“无习惯”的人数
8
22
30
合计
60
40
100
．
所以有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关．
（2）依题意，有，
∴．
∴（万元）.
估计新影片上映票房能达到万元．
20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点，的距离之和是．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于，两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
（1）依题意，，，
因为，所以，，
所以椭圆方程为；
（2）设，，，
则由，可得，
即，，
又因为，所以四边形是平行四边形，
设平面四边形的面积为，
则，
设，则，
所以，因为，所以，所以，
所以四边形面积的最大值为．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】
（1）见解析；
（2）．
【解析】
（1）．
①当时，由，得，则，
所以函数的单调递减区间是；
②当时，由得，
所以当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
综上所述，当时，函数的单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）依题意，要满足对任意，均存在，使得，
只需满足．
因为，，所以，
由
（1）知，当时，函数在区间上单调递减，值域为，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
令，解得
综上，的取值范围是．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为．
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
（1）依题意，设，
则点到直线的距离，
当，即，时，，
故点到直线的距离的最小值为．
（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，
所以对，有恒成立，
即（其中）恒成立，
所以，
又，所以．
故的取值范围为．
23．（10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数，，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
（1）当时，．
，
①当时，恒成立，∴；
②当时，，即，即或．
综合可知：
；
③当时，，则或，综合可知：
．
由①②③可知：
．
（2）当时，，的最大值为，
要使恒成立，故只需，
则，∴；
当时，，的最大值为，
要使恒成立，故只需，
∴，从而．
综上讨论可知：
．
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