第13讲充分必要条件与子集推出关系Word下载.docx

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pq．

1、充分与必要条件的概念：

（1）充分条件：

若，则是的充分条件；

（2）必要条件：

若，则是的必要条件；

（3）充要条件：

若既有，又有，则是的充分必要条件，简称充要条件，也是的充要条件。

2、推出关系具有传递性：

若，，则，若，，则，称与等价。

3、充要条件的证明：

证明过程必须是“双向”的，即：

既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。

4、四种命题形式

如果原命题或原命题的逆否命题成立，则原命题的条件是结论成立的充分条件；

如果原命题的否命题或逆命题成立，则原命题的条件是结论成立的必要条件；

如果四种命题形式都成立，那么原命题的条件是结论成立的充要条件；

若四种命题形式都不成立，那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。

二、子集与推出关系

思考：

问题1：

用“”，“”，“”，“”填空：

=｛︱｝；

=｛︱｝

命题：

；

；

命题命题

提问：

通过以上例题，对集合间关系和推出关系你能得出什么结论？

问题2:

命题:

是命题:

的充分不必要条件

的必要不充分条件

问题3：

请写出的一个充分条件:

请写出的一个必要条件:

你是如何找到这个条件的？

（学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论，这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达，引导学生用集合间的“包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系）

从上面的例子我们发现是的充分条件，即，如果将满足的元素组成集合，即,将满足的元素组成集合，即,可以得到：

如果，那么，反之亦然。

所以子集和推出关系之间有着必然的联系，这就是本节课研究的子集与推出关系。

4、子集与推出关系：

设，则与等价。

5、子集与推出关系的各种表述形式：

已知集合

①若则是的充分条件；

②若则是的充分不必要条件；

③若则是的必要条件；

④若则是的必要不充分条件；

⑤若，则是的充要条件；

⑥若则是的既不充分也不必要条件；

6、推出关系具有传递性：

设，，则集合、之间的关系与、之间的关系，可用下表表示：

集合之间的关系

与之间的推出关系

是的

什么条件

原命题“若，则”的真假

逆命题“若、则”的真假

，

充分非必要条件

真命题

假命题

必要非充分条件

充要条件

不满足以上三种情况

既非充分又非必要条件

【典型例题】

例1、若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的（D）

A原命题B逆否命题C逆命题D否命题

例2、已知p：

是方程的两根，q：

，则p是q的（A）

A．充分但不必要条件　　B．必要但不充分条件

C．充要条件　　　D．既不充分也不必要条件

例3、判断下列各命题中是成立的什么条件：

（1）：

：

（2）：

（3）或；

（4）设，：

，：

（5）已知，；

。

（6）已知，，

解：

（1）设，，∵AB,∴是的充分非必要条件。

（2）设，，∵,，AB,∴是的必要非充分条件。

（3）必要非充分条件；

（4）是的必要不充分条件

（5）既不充分也不必要条件

（6）因为，或，，

所以，是的充分非必要条件．

例4、已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？

分析画出关系图1－21，观察求解．

解s是q的充要条件；

（srq，qs）

r是q的充要条件；

（rq，qsr）

p是q的必要条件；

（qsrp）

例5、求证：

关于的方程有一个根为1的充要条件是

证明略

例6、设，是的充分条件，求的范围。

设，

因为是的充分条件，即，所以

由右图可得，解得

所以的取值范围是。

变式练习：

设，是的充分条件，求的范围。

是的充分条件，即，

画数轴分析可得或，解得或

所以的取值范围是或。

例7、试用子集与推出关系判断是β（甲是乙）的什么条件：

（2）：

（3）甲：

，乙：

（4）设，甲：

，乙：

（1）设，，

∵AB,∴α是β的充分非必要条件。

（2）设，，

∵,，AB,∴α是β的必要非充分条件。

（3）甲是乙的充分必要条件

（4）甲是乙的必要不充分条件

例8、利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件。

写出的充分条件

写出的必要条件

写出的充要条件

答案不唯一

例9、判断集合，之间的关系。

设，，

，∴。

例10、设集合，那么“”是“”的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例11、“”是“”的（A）

例12、若命题是命题的充要条件，命题是命题的必要非充分条件，则命题是命题的______条件。

设命题对应的集合为A，命题对应的集合为B，命题对应的集合为C

是的充要条件，

又是的必要非充分条件，

，，所以是的充分非必要条件。

例13、设A、B、C三个集合，AB是A（B∪C）的[A]

A．充分条件　　　B．必要条件

C．充要条件　　　D．既不充分也不必要条件

分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．

∴A（B∪C）．

但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，

显然A（B∪C），但AB不成立，

综上所述：

“AB”“A（B∪C）”，而

“A（B∪C）”“AB”．

即“AB”是“A（B∪C）”的充分条件（不必要）．

【课后作业】充分与必要条件

A组

1．或的一个充分非必要条件是（B）

（A）（B）（C）（D）

2．若条件p:

，条件，则是的（A）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

3．设是的（A）

A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4.若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的（B）

5.试说明是的什么条件。

（1）且；

（2）；

（3）；

解：

（1）充分非必要条件；

（2）必要非充分条件；

（3）充分非必要条件

6．设，，是的充分条件，求实数的取值范围。

7．

（1）是否存在实数，使得是的充分条件？

（2）是否存在实数，使得是的必要条件？

欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，

故存在实数时，使是的充分条件．

（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件．

8.已知求证：

必要性：

=

充分性：

，即

得或=0

只有，既有

综上所述

9.已知命题：

命题：

，且是的充分条件，求实数m的取值范围。

3m-12-m>

43m-1<

-m

m1m<

-4m<

综上所述：

m≤-4

10.求证：

，是的什么条件？

1）将充要条件和不等式同解变形相联系2）可用分类讨论求解，注意不重不漏。

可得为充分条件，证明略

11.设m＞0，且为常数，已知条件p：

，条件q：

＜x＜或－＜x＜－，若是的必要非充分条件，求实数m的取值范围.

设集合A＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x|＜x＜或－＜x＜－}.

由题设有p⇒q且q不能推出p，所以A⊆B.

因为m＞0，所以（2－m，2＋m）⊆（，），

故由2＋m≤且2－m≥⇒0＜m≤－2，故实数m的取值范围为（0，－2].

B组

1.设原命题“若则”真而逆命题假，则是的（　A　）

Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件

2.“”的否定是（D）

A.B.

C.D.

3.命题P“如果”的否命题是（C）

4.下列各组的两个命题互为等价命题的是（A）

A.B.

5.设

①②

③④

其中真命题的序号是_____________；

③④

①反例：

6.条件甲：

的两根，，，条件乙：

且，则甲是乙的（　A　）

Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

7.是的___必要不充分________条件．

8.已知，，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．

由得．

由，

由是的必要而不充分条件知

故的取值范围为．

9.设，，

，求使的充要条件．

答案：

．

10.求方程有实根的充要条件．

11.已知关于x的一元二次方程：

求方程

（1）和

（2）都有整数解的充要条件。

（）

（1）有解，则，

（2）有解，则，又，

检验后：

12、已知p：

－2≤x≤10，q：

1－m≤x≤1+m，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

【课后作业】子集推出关系

1．若非空集合，则“或”是“”的条件．必要非充分

2.一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（A）

3.如果都是实数，那么：

，是：

关于x的方程有一个正根和一个负根的（C）

4.是的充要条件的是：

（C）

A．：

二元一次方程组有唯一解

B.：

两条对角线互相垂直平分，：

四边形是正方形

C．：

D.：

两个三角形相似，：

两个三角形面积之比等于对应的高之比

5.若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的

（）

分析通过B、C作为桥梁联系A、D．

解∵A是B的充