第13讲充分必要条件与子集推出关系Word下载.docx
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1、充分与必要条件的概念:
(1)充分条件:
若,则是的充分条件;
(2)必要条件:
若,则是的必要条件;
(3)充要条件:
若既有,又有,则是的充分必要条件,简称充要条件,也是的充要条件。
2、推出关系具有传递性:
若,,则,若,,则,称与等价。
3、充要条件的证明:
证明过程必须是“双向”的,即:
既要由条件推出结论(充分性),又要由结论推出条件(必要性)。
4、四种命题形式
如果原命题或原命题的逆否命题成立,则原命题的条件是结论成立的充分条件;
如果原命题的否命题或逆命题成立,则原命题的条件是结论成立的必要条件;
如果四种命题形式都成立,那么原命题的条件是结论成立的充要条件;
若四种命题形式都不成立,那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。
二、子集与推出关系
思考:
问题1:
用“”,“”,“”,“”填空:
={︱};
={︱}
命题:
;
;
命题命题
提问:
通过以上例题,对集合间关系和推出关系你能得出什么结论?
问题2:
命题:
是命题:
的充分不必要条件
的必要不充分条件
问题3:
请写出的一个充分条件:
请写出的一个必要条件:
你是如何找到这个条件的?
(学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论,这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达,引导学生用集合间的“包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系)
从上面的例子我们发现是的充分条件,即,如果将满足的元素组成集合,即,将满足的元素组成集合,即,可以得到:
如果,那么,反之亦然。
所以子集和推出关系之间有着必然的联系,这就是本节课研究的子集与推出关系。
4、子集与推出关系:
设,则与等价。
5、子集与推出关系的各种表述形式:
已知集合
①若则是的充分条件;
②若则是的充分不必要条件;
③若则是的必要条件;
④若则是的必要不充分条件;
⑤若,则是的充要条件;
⑥若则是的既不充分也不必要条件;
6、推出关系具有传递性:
设,,则集合、之间的关系与、之间的关系,可用下表表示:
集合之间的关系
与之间的推出关系
是的
什么条件
原命题“若,则”的真假
逆命题“若、则”的真假
,
充分非必要条件
真命题
假命题
必要非充分条件
充要条件
不满足以上三种情况
既非充分又非必要条件
【典型例题】
例1、若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是r,则r是p的逆命题的(D)
A原命题B逆否命题C逆命题D否命题
例2、已知p:
是方程的两根,q:
,则p是q的(A)
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例3、判断下列各命题中是成立的什么条件:
(1):
:
(2):
(3)或;
(4)设,:
,:
(5)已知,;
。
(6)已知,,
解:
(1)设,,∵AB,∴是的充分非必要条件。
(2)设,,∵,,AB,∴是的必要非充分条件。
(3)必要非充分条件;
(4)是的必要不充分条件
(5)既不充分也不必要条件
(6)因为,或,,
所以,是的充分非必要条件.
例4、已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件?
分析画出关系图1-21,观察求解.
解s是q的充要条件;
(srq,qs)
r是q的充要条件;
(rq,qsr)
p是q的必要条件;
(qsrp)
例5、求证:
关于的方程有一个根为1的充要条件是
证明略
例6、设,是的充分条件,求的范围。
设,
因为是的充分条件,即,所以
由右图可得,解得
所以的取值范围是。
变式练习:
设,是的充分条件,求的范围。
是的充分条件,即,
画数轴分析可得或,解得或
所以的取值范围是或。
例7、试用子集与推出关系判断是β(甲是乙)的什么条件:
(2):
(3)甲:
,乙:
(4)设,甲:
,乙:
(1)设,,
∵AB,∴α是β的充分非必要条件。
(2)设,,
∵,,AB,∴α是β的必要非充分条件。
(3)甲是乙的充分必要条件
(4)甲是乙的必要不充分条件
例8、利用子集与推出关系的等价性,写出下列语句的相关条件。
写出的充分条件
写出的必要条件
写出的充要条件
答案不唯一
例9、判断集合,之间的关系。
设,,
,∴。
例10、设集合,那么“”是“”的(B)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
例11、“”是“”的(A)
例12、若命题是命题的充要条件,命题是命题的必要非充分条件,则命题是命题的______条件。
设命题对应的集合为A,命题对应的集合为B,命题对应的集合为C
是的充要条件,
又是的必要非充分条件,
,,所以是的充分非必要条件。
例13、设A、B、C三个集合,AB是A(B∪C)的[A]
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.
∴A(B∪C).
但是,当B=N,C=R,A=Z时,
显然A(B∪C),但AB不成立,
综上所述:
“AB”“A(B∪C)”,而
“A(B∪C)”“AB”.
即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要).
【课后作业】充分与必要条件
A组
1.或的一个充分非必要条件是(B)
(A)(B)(C)(D)
2.若条件p:
,条件,则是的(A)
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3.设是的(A)
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的(B)
5.试说明是的什么条件。
(1)且;
(2);
(3);
解:
(1)充分非必要条件;
(2)必要非充分条件;
(3)充分非必要条件
6.设,,是的充分条件,求实数的取值范围。
7.
(1)是否存在实数,使得是的充分条件?
(2)是否存在实数,使得是的必要条件?
欲使得是的充分条件,则只要或,则只要即,
故存在实数时,使是的充分条件.
(2)欲使是的必要条件,则只要或,则这是不可能的,故不存在实数时,使是的必要条件.
8.已知求证:
必要性:
=
充分性:
,即
得或=0
只有,既有
综上所述
9.已知命题:
命题:
,且是的充分条件,求实数m的取值范围。
3m-12-m>
43m-1<
-m
m1m<
-4m<
综上所述:
m≤-4
10.求证:
,是的什么条件?
1)将充要条件和不等式同解变形相联系2)可用分类讨论求解,注意不重不漏。
可得为充分条件,证明略
11.设m>0,且为常数,已知条件p:
,条件q:
<x<或-<x<-,若是的必要非充分条件,求实数m的取值范围.
设集合A={x|2-m<x<2+m},B={x|<x<或-<x<-}.
由题设有p⇒q且q不能推出p,所以A⊆B.
因为m>0,所以(2-m,2+m)⊆(,),
故由2+m≤且2-m≥⇒0<m≤-2,故实数m的取值范围为(0,-2].
B组
1.设原命题“若则”真而逆命题假,则是的( A )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.“”的否定是(D)
A.B.
C.D.
3.命题P“如果”的否命题是(C)
4.下列各组的两个命题互为等价命题的是(A)
A.B.
5.设
①②
③④
其中真命题的序号是_____________;
③④
①反例:
6.条件甲:
的两根,,,条件乙:
且,则甲是乙的( A )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.是的___必要不充分________条件.
8.已知,,若是的必要而不充分条件,求实数的取值范围.
由得.
由,
由是的必要而不充分条件知
故的取值范围为.
9.设,,
,求使的充要条件.
答案:
.
10.求方程有实根的充要条件.
11.已知关于x的一元二次方程:
求方程
(1)和
(2)都有整数解的充要条件。
()
(1)有解,则,
(2)有解,则,又,
检验后:
12、已知p:
-2≤x≤10,q:
1-m≤x≤1+m,若是的必要不充分条件,求实数m的取值范围。
【课后作业】子集推出关系
1.若非空集合,则“或”是“”的条件.必要非充分
2.一个整数的末位数字是2,是这个数能被2整除的(A)
3.如果都是实数,那么:
,是:
关于x的方程有一个正根和一个负根的(C)
4.是的充要条件的是:
(C)
A.:
二元一次方程组有唯一解
B.:
两条对角线互相垂直平分,:
四边形是正方形
C.:
D.:
两个三角形相似,:
两个三角形面积之比等于对应的高之比
5.若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的
()
分析通过B、C作为桥梁联系A、D.
解∵A是B的充