版高考数学北师大版理一轮复习第5章平面向量51平面向量的概念及线性运算文档Word文档下载推荐.docx

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0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

法则

（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝b＋a

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ>

0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<

0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

（1）λ（μa）＝（λμ）a；

（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；

（3）λ（a＋b）＝λa＋λb

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（　×

　）

（2）|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．（　√　）

（3）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　×

（4）向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　×

（5）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　√　）

（6）△ABC中，D是BC中点，则＝（＋）．（　√　）

1．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若a，b都是单位向量，则a＝b；

③向量与相等．则所有正确命题的序号是（　　）

A．①B．③

C．①③D．①②

答案　A

解析　根据零向量的定义可知①正确；

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；

向量与互为相反向量，故③错误．

2．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于（　　）

A．a＋b

B.a＋b

C.a＋b

D.a＋b

答案　B

解析　∵＝－＝a－b，又＝3，

∴＝＝（a－b），

∴＝＋＝b＋（a－b）＝a＋b.

3．（2015·

课标全国Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）

A.＝－＋B.＝－

C.＝＋D.＝－

解析　∵＝3，∴－＝3（－），

即4－＝3，∴＝－＋.

4．（教材改编）已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________（用a，b表示）．

答案　b－a　－a－b

解析　如图，＝＝－＝b－a，

＝－＝－－＝－a－b.

5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________.

答案　－

解析　由已知得a＋λb＝－k（b－3a），

∴解得

题型一　平面向量的概念

例1　下列命题中，正确的是________．（填序号）

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；

④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

答案　④

解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；

向量的模均为实数，可以比较大小．

思维升华　

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈．（4）非零向量a与的关系：

是与a同方向的单位向量．

　设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；

②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　D

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；

若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

题型二　平面向量的线性运算

命题点1　向量的线性运算

例2　

（1）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（　　）

A.B.

C.D.

（2）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于（　　）

A.b＋cB.c－b

C.b－cD.b＋c

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）＋＝（＋）＋（＋）

＝（＋）＝.

（2）∵＝2，

∴－＝＝2＝2（－），

∴3＝2＋，

∴＝＋＝b＋c.

命题点2　根据向量线性运算求参数

例3　

（1）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于（　　）

C．－D．－

（2）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是（　　）

答案　

（1）A　

（2）D

解析　

（1）∵＝2，

即－＝2（－），

∴＝＋，

∴λ＝.

（2）设＝y，

∵＝＋

＝＋y＝＋y（－）

＝－y＋（1＋y）.

∵＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），

∴y∈，

∵＝x＋（1－x），

∴x＝－y，∴x∈.

思维升华　平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

（2）求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；

求差用三角形法则；

求首尾相连向量的和用三角形法则．

（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

　如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为（　　）

A.B.

C.D.

解析　∵＝，＝，

∴＝，＝2.

由向量加法的平行四边形法则可知，

＝＋，

∴＝λ＝λ（＋）

＝λ

＝λ＋2λ，

由E，F，K三点共线，可得λ＝，故选A.

题型三　共线定理的应用

例4　设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：

A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.

∴、共线，又∵它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线．

（2）解　∵ka＋b和a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a、b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±

1.

思维升华　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．

（1）已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（　　）

A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线

（2）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）∵＝＋＝2a＋6b＝2（a＋3b）＝2，

∴、共线，又有公共点B，

∴A，B，D三点共线．故选B.

（2）＝＋＝＋

＝＋（－）

＝－＋，

∵＝λ1＋λ2，

∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.

10．方程思想在平面向量线性运算中的应用

典例　（12分）如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

思维点拨　

（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．

（2）既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.

（3）利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．

规范解答

解　设＝ma＋nb，

则＝－＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb.

＝－＝－＝－a＋b.[3分]

又∵A、M、D三点共线，∴与共线．

∴存在实数t，使得＝t，

即（m－1）a＋nb＝t.[5分]

∴（m－1）a＋nb＝－ta＋tb.

∴消去t得，m－1＝－2n，

即m＋2n＝1.①　[7分]

又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，

＝－＝b－a＝－a＋b.

又∵C、M、B三点共线，∴与共线．[10分]

∴存在实数t1，使得＝t1，

∴a＋nb＝t1，

∴

消去t1得，4m＋n＝1.②

由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.[12分]

温馨提醒　

（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．

（2）易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．（3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．（4）方程思想是解决本题的关键，要注意体会．

[方法与技巧]

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；

向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；

平行四边形法则要素是“起点重合”．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

3．对于三点共线有以下结论：

对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y（x，y∈R），则P，A，B共线⇔x＋y＝1.

[失误与防范]

1．解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；

二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟）

1．设a、b是两个非零向量（　　）

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

答案　C

解析