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复数的引入,理解复数引入的必要性以及复数与复平面和向量的一一对应关系
复习提问与
作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
(1)在演示——观察——思维探究活动中,使学生认识复数
(3)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力;
(4)在反思交流中,总结知识,品味学习方法.
教学备品
教学课件、尺子
【教学过程】
师生活动
设计意图
知识导入
活动1:
给出4个方程求解的问题。
以下4个方程在对应的数系中是否有解?
x+1=0
老师给出4个方程求解的问题,引导学生回顾数系的一步一步扩充的过程,为引入复数做铺垫。
.
本次活动,旨在提供学生参与活动的空间,调动学生的主观能动作用,激发学生的好奇心与求知欲。
为本节课的学习作好准备.
历史回顾
老师带领大家一起学习数学史的相关知识,回顾在数学的发展史上,复数的的发现以及发展历程,让同学们从历史的角度认识到复数学习的重要性和必要性。
数学的发展是伴随着社会的需要和数学本身发展的需要的。
同学们在学习数学史的过程中,可以帮助他们理清数学学习的思路和某些数学问题的历史重要性。
教学过程设计
设计意图
辨析定义
活动3:
(1)引入虚数单位,并规定
复数的概念:
形如这样的数称为复数,其中称为复数的实部,称为复数的虚部,且都为实数。
并引入复数集,用大写字母表示。
(2)根据复数的基本形式,对复数进一步分类。
当时,就是实数,
当时,是虚数,其中且时称为纯虚数。
(3)复数相等的概念
如果两个复数与相等,则等价于且.
并在此强调,复数一般不能比较大小。
思考:
的充要条件是什么?
(4)典型例题选讲:
1.已知,其中,求.
2.已知,求实数的值.
学生通过看书,预先了解复数的概念,并在老师的引导下进一步认识复数的基本形式。
通过对复数中实部与虚部取值范围的讨论,让同学们理解复数与实数的关系。
对复数定义的更深一步理解。
通过例题的讲解,了解学生的知识掌握程度。
可以让学生先自己解答,老师再做讲解。
类比研究
复数的几何意义。
(1)复数与复平面的一一对应
复数与直角坐标系中的点一一对应。
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,简称复平面,其中轴称为实轴,轴称为虚轴(虚轴不包括原点)。
通过复数与复平面的一一对应和向量的一一对应,理解数形结合的思想,并把现在学习的新知识与以往学习的知识联系在一起。
(2)复数与平面向量的一一对应
在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数一一对应,这样,我们可以用平面向量来表示复数。
复数与平面向量一一对应
(3)典型例题选讲
已知复数在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数的取值范围。
分析:
第二象限横坐标小于0,纵坐标大于0,则
解决实际问题。
体会数形结合的思想。
表示复数的点所在象限的问题。
(几何问题)
复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题。
(代数问题)
把新学习的知识与之前学习的知识进一步融合,让学生在发现中学习,并理解知识点之间的关系,有利于对新知识的理解和旧知识的巩固。
在解决具体问题时所发现的新的数学思想方法,可以帮助同学们在今后的学习中多角度的思考问题,解答问题,有利于学生思维的拓展。
共轭复数概念:
一般地,如果两个复数实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数。
复数的共轭复数记作,即,则
典型例题精讲:
已知,且
,求这个复数的共轭复数。
师生活动
课堂反馈
1.下列命题是真命题的是()
A.是方程的一个根B.是无理数
C.复数为虚数D.不是纯虚数
2.,则=()
3.,求的值。
4.若不等式成立,求
的值。
课后反思
我们之前在学习是实数时,都会涉及到数的运算问题,那么对于复数,我们是不是也可以定义相关的运算呢?
可以的话,怎么定义呢?
思考题给学生留有继续学习的空间和兴趣。
课堂总结
1、通过数系的扩充过程引入复数。
通过对数学史知识的了解知道了复数的重要性和学习复数的必要性。
2、在理解复数的有关概念时应注意:
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小
3、通过本节课的学习,你有哪些收获?
你还有什么疑惑吗?
教师组织学生回顾本节课学习的内容。
谈谈自己的收获,不拘形式,有多少说多少,鼓励学生大胆质疑.
作业布置
1.
2.当为何值时,是
(1)实数;
(2)纯虚数;
(3)虚数
教学反思
1.要注意知识的连续性:
复数是二维数,其几何意义是一个点,因而注意与平面解析几何的联系.2.注意数形结合的数形思想:
由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.
第20.2节复数的运算
4
掌握复数的加减乘除的运算及几何意义
掌握复数的运算及几何意义
复数的减法和除法
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到,在学习时注意将换成;
除法是乘法的逆运算,所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得,但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数,先将复数的分母实数化,再化简可得,学习时注意体会第二种方法的优势和本质.在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力;
在反思交流中,总结知识,品味学习方法.
教学课件
第12课时
(一)导入新课:
复数的概念及其几何意义;
(二)推进新课:
建立复数的概念之后,我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,我们规定:
1、复数的加法运算法则:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2、复数的加法运算律:
交换律:
z1+z2=z2+z1
结合律:
:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
3、复数加法的几何意义:
设复数z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所对应的向量为、,即、的坐标形式为=(a,b),=(c,d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则对角线OZ对应的向量是,
由于=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),所以和的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量
4、复数的减法运算法则:
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
5、复数减法的几何意义:
类似复数加法的几何意义,由于z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而向量=-=(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d),所以和的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量
6、例题讲解:
例1、计算:
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
例2、已知复数z1=2+i,z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B,求对应的复数z,z在平面内所对应的点在第几象限?
解:
由已知得:
z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,
∵z的实部a=-1<0,虚部b=1>0,
∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.
点评:
任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。
即所表示的复数是zB-zA. ,而所表示的复数是zA-zB。
例3、复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
分析一:
利用,求点D的对应复数。
解法一:
设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),是:
=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i
=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i
∵,即(x-1)+(y-2)i=1-3i,
∴
解得
故点D对应的复数为2-i。
分析二:
利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解。
解法二:
因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形的中心,
于是有(-2+i)+(x+yi)=0,
∴x=2,y=-1.
故点D对应的复数为2-i.
根据题意画图,通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用。
(三)课堂练习:
1.设O是原点,向量,对应的复数分别为,,那么向量对应的复数是(D)
A.B.C.D.
2.当时,复数在复平面内对应的点位于(D)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.在复平面内表示的点在第二象限.
4.计算:
(1)=5
(2)=-2-2i
(3)=-2-8i(4)=2i
(四)课堂小结:
复数的加法与减法的运算及几何意义
(五)课后作业:
课本第112页习题A:
1、2、3、4。
【第34课时】
【知识链接】
1.复数与的和的定义:
;
2.复数与的差的定义:
3.复数的加法运算满足交换律:
4.复数的加法运算满足结合律:
;
5.复数的共轭复数为.
【问题探究】
探究一、复数的乘法运算
引导1:
乘法运算规则
设、是任意两个复数,规定复数的乘法按照以下的法则进行:
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成-1,并且
把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
引导2:
试验证复数乘法运算律
(1)
(2)(3)
点拨:
两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
探究二、复数的除法运算
引导1:
复数除法定义:
满足的复数叫复数除以复数的商,记为:
或者.
引导2:
除法运算规则:
利用.于是将的分母有理化得:
原式=
∴(a+bi)÷
(c+di)=.
利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数与复数,相当于我们初中学习的的对偶式,它们之积为1是有理数