全等三角形的提高拓展经典题Word文档格式.docx
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例题精讲
板块一、截长补短
【例1】已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
【例2】如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?
【变式拓展训练】
如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？
【例3】已知：
如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：
BE+DF=AE.
【例4】以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：
平分．
【例5】如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
【例6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°
，
求证：
AD平分∠CDE
板块二、全等与角度
【例7】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.
【例8】在等腰中，，顶角，在边上取点，使，
求.
【例9】如图所示，在中，，，又在上，在上，且满足，，求.
【例10】在四边形中，已知，，，，求的度数.
【例11】如图所示，在四边形中，，，，，求的度数.
【例12】在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求.
【例13】如图所示，在中，，为内一点，使得，，求的度数.
全等三角形证明经典50题（含答案）
1.已知：
AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<
AE<
AB+BE
即:
10-2<
2AD<
10+24<
AD<
6
又AD是整数,则AD=5
2.已知：
D是AB中点，∠ACB=90°
，求证：
3.已知：
BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：
∠1=∠2
证明：
连接BF和EF。
因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。
所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC=∠AED。
所以∠ABE=∠AEB。
所以AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中，
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。
已知：
∠1=∠2，CD=DE，EF如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:
∠A+∠D=180°
;
又∠EFB+∠EFC=180°
则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
13.已知：
AB
14.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>
AB，求证：
PC-PB<
AC-AB
作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'
在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）
因为PC<
PB’+B‘C,PC-PB’<
B‘C,而B'
C=AC-AB'
=AC-AB,所以PC-PB<
15.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为，∠1=∠2，BE⊥AE
所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
16.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5
AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
所以:
∠DBC=∠角DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
AD垂直BC
19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：
∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB
所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA
所以∠OAB=∠OBA
20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：
AD+BC=AB．
做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA27、（10分）如图：
在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
在△ABD与△ACD中AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、（12分）如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
AF=DE。
因为AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
所以三角形ABE=三角形CDF
因为角DCB=角ABF
AB=DCBF=CE
三角形ABF=三角形CDE
所以AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证：
∵AB平行CD（已知）
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M在BC的中点（已知）
∴EM=FM（中点定义）
在△BME和△CMF中
BE=CF（已知）
∠B=∠C（已证）
EM=FM（已证）
∴△BME全等与△CMF（SAS）
∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°
（等式的性质）
∴E，M，F在同一直线上
31．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE≌△CDF．
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：
角ABC=角ADC在结合已知条件证得：
△ADE≌△ABF
得AE=AF
33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.
又因为AC是公共边，所以AAS==>
三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC
三角形DEC全等于三角形BEC
所以∠5=∠6
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF．
因为D,C在AF上且AD=CF
所以AC=DF
又因为AB平行DE，BC平行EF
所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）
然后SSA（角角边）三角形全等
35．已知：
如图，AB=AC，BD?
AC，CE?
AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：
BE=CD．
因为AB=AC，
所以∠EBC=∠DCB
因为BD⊥AC，CE⊥AB
所以∠BEC=∠CDB
BC=CB（公共边）
则有三角形EBC全等于三角形DCB
所以BE＝CD
36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
DE=DF．
AAS证△ＡＤＥ≌△ADF
37.已知：
如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？
D
C
B
A
E
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
BC=AE
△ABC≌△DAE
AD=AB=5
38．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
MB=MC
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
40．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①≌；
②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；
若不成立，说明理由.
（1）证明：
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
，∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACD=∠C
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