信号谱分析论文信号谱模型分析和实验检测学士学位论文文档格式.docx

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目录

摘要4

一、发展背景5

二、基本知识5

三、主要模型8

3.1自回归AR（p）模型8

3.2移动平均MA（q）模型8

3.3自回归移动平均ARMA（p,q）模型9

3.4自回归综合移动平均ARIMA（p,d,q）模型10

3.5主要模型总结11

四、模型预测13

4.1平稳时间序列模型预测13

4.2非线性时间序列模型预测14

五、Matlab编程实现15

六、总结19

参考文献20

附录21

摘要

本文主要介绍了信号谱分析的一些常用基本理论和方法，并对几种常用的具体的模型进行分析和实验检测。

信号谱分析是统计学中的一个非常重要的分支，是以概率论与数理统计为基础，计算机应用为技术支撑，迅速发展起来的一种应用性很强的科学方法。

时间序列是变量按时间间隔的顺序而形成的随机变量序列，大量自然界，社会经济等领域的统计指标都依年，季，月或日统计其指标值，随着时间的推移，形成了统计指标的时间序列，在金融经济、气象水文、信号处理、机械振动等众多领域有着广泛的应用。

本文以时间序列的线性模型和平稳序列的谱分析为主线，介绍时间序列的基本知识、常用模型（主要是AR模型和ARMA模型）和预测方法。

在内容上强调平稳序列的频率特性，注重解释功率谱的统计含义。

同时还对估计方法做了随机模拟计算，并介绍了随机模拟的基本方法。

关键词：

时间序列、AR模型、MA模型、ARMA模型

一、发展背景

早期的时间序列分析通常都是通过直观的数据比较或绘图观测,寻找序列中蕴含的发展规律,这种分析方法就称为描述性时序分析。

古埃及人发现尼罗河泛滥的规律就是依靠这种分析方法。

但随着研究领域的不断拓广,在很多研究领域中随机变量的发展通常会呈现出非常强的随机性,人们发现依靠单纯的描述性时序分析已不能准确地寻找出随机变量发展变化的规律,为了更准确地估计随机序列发展变化的规律,从20世纪20年代开始,学术界利用数理统计学原理分析时间序列,研究的重心从表面现象的总结转移到分析序列值内在的相关关系上,由此开辟了一门应用统计学科——时间序列分析。

时间序列分析方法最早起源于1927年数学家Yule提出建立自回归模型（AR模型）来预测市场变化的规律。

1931年,另一位数学家在AR模型的启发下,建立了移动平均模型（MA模型）,初步奠定了时间序列分析方法的基础。

20世纪60年代后,时间序列分析方法迈上了一个新的台阶,在工程领域方面的应用非常广泛。

近几年,随着计算机技术和信号处理技术的迅速发展,时间序列分析理论和方法更趋完善。

二、基本知识

1、定义:

即有大量的数据是按照时间顺序排列的，用数学方法来表述就是使用一组随机序列表示随机事件的时间序列，简记为。

时间序列的一个显著特征就是记录的相依性。

2、组成要素：

趋势、季节变动、循环波动和不规则波动。

趋势：

是时间序列在长时期内呈现出来的持续向上或持续向下的变动。

季节变动：

是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。

它是诸如气候条件、生产条件、节假日或人们的风俗习惯等各种因素影响的结果。

循环波动：

是时间序列呈现出得非固定长度的周期性变动。

循环波动的周期可能会持续一段时间，但与趋势不同，它不是朝着单一方向的持续变动，而是涨落相同的交替波动。

不规则波动：

是时间序列中除去趋势、季节变动和周期波动之后的随机波动。

不规则波动通常总是夹杂在时间序列中，致使时间序列产生一种波浪形或震荡式的变动。

只含有随机波动的序列也称为平稳序列。

3、平稳性：

如果对时间序列满足：

（1）对任何的；

（2）对任何的；

（3）对任何的，

就称是平稳时间序列，简称平稳序列。

称实数列为的自协方差函数。

4、随机过程：

随机过程是概率空间上的一族随机变量,其中是参数，它属于某个指标集，称为参数集。

Kolmogorv定理则是指若分布函数族满足对称性与相容性，则存在随机过程恰好是的有限维分布族。

5、平稳过程的特征及遍历性：

设是一个取复数值的随机过程，其中指标集为整数或实数全体（分别称为离散指标和连续指标）。

如果对任意的自然数及任意的的概率分布与的概率分布相同，则称为严平稳过程。

如果二阶绝对矩，而且对任意的,均值（见数学期望）为常数，协方差（与无关），则称为宽平稳过程。

称为的协方差函数。

一个严平稳过程，如果它的二阶矩有穷，则一定也是宽平稳的（见矩）。

设为一平稳过程，若或者，则称的均值有遍历性。

6、线性差分方程：

假定当前时期期的和另一个变量，及前一期的之间存在如下动态方程：

，则此方程成为一阶线性差分方程。

若动态系统中输出依赖于它的期滞后值以及输入变量：

，则此方程称为阶差分方程。

7、数据的预处理：

主要介绍时间序列数据的预处理。

该预处理包括平稳性检验，正态性检验，独立性检验以及离群点的检验与处理。

平稳性检验包括参数检验法，非参数检验法以及时序图检验法。

独立性检验则主要有一个Bartlett公式需要注意一下。

8、分类：

时间序列按照平稳性来分，可以分为平稳序列和非平稳序列两大类。

平稳序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动，虽然在不同的时间段波动的程度不同，但不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的。

非平稳序列包含趋势性、季节性或周期性的序列，可能含其中的一种成份，也可能是几种成份的组合。

按照连续性来分，时间序列一般分为两类：

一类是离散型的，一类是连续型的。

然而，为了研究和叙述的方便，我们考察的时间序列都是离散型随机过程和时间序列，即观测值是从相同时间间隔点上得到的。

离散型时间序列可通过两种方法获得：

一种是抽样于连续变化的序列，另一种是计算一定时间间隔内的累积值。

时间序列分析的主要任务就是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计模型，从而对相关的问题的预测，控制和诊断提供帮助。

9、特点：

时间序列的特点为任何时间序列形式都由时间和观察值两个基本要素组成。

大量时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性，或者只表现出三者之中的其二或者其一。

时间序列模型分为：

自回归过程，移动平均过程和自回归移动平均过程。

这三个过程在课程总结中都有概括。

10、建模步骤：

时间序列建模基本步骤为：

①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。

②根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。

相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。

跳点是指与其他数据不一致的观测值。

如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象，则应把跳点调整到期望值。

拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。

如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列，例如采用门限回归模型。

③辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。

对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。

对于平稳时间序列，可用通用ARMA模型（自回归滑动，平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA模型等来进行拟合。

当观测值多于50个时一般都采用ARMA模型。

对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。

时间序列分析主要用于：

①系统描述。

根据对系统进行观测得到的时间序列数据，用曲线拟合方法对系统进行客观的描述。

②系统分析。

当观测值取自两个以上变量时，可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化，从而深入了解给定时间序列产生的机理。

③预测未来。

一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。

④决策和控制。

根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上，即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。

三、主要模型

总结时间序列模型主要大致分为自回归模型（AR模型）和自回归滑动平均模型（ARMA模型）两大类。

前者以其滞后变量为依据，推算其未来值，后者是以过去的误差项为依据，推算其未来值。

有时需两者并用，便产生自回归移动平均模型。

3.1自回归AR（p）模型

仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用,不受模型变量相互独立的假设条件约束,所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。

“自回归过程AR（p）”主要介绍自回归过程AR（p）。

为零均值平稳序列，满足如下差分方程：

其中，为的依赖程度，为白噪声序列，满足，则称满足一阶自回归模型，常记做AR

（1）。

另外，如果与过去时期直到t-p期的自身取值相关，则需要使用包含在内的p阶自回归AR（P）模型的一般形式为（1.1）

这里说明当前期的随机干扰与过去的序列值无关。

（1.2）

在AR模型中，序列的当前值由序列的当前值和序列的前一个长度为M的窗口内序列值决定。

自回归过程是一个变量在时间的某一点的变化，相对于前期的变化是线性的。

一般来说相关性随着时间呈指数下降，且在比较短的周期内消失。

3.2移动平均MA（q）模型

用过去各个时期的随机干扰或预测误差的线性组合来表达当前预测值。

AR（p）的假设条件不满足时可以考虑用此形式。

“移动平均过程MA（q）”主要介绍移动平均过程，即MA（q）。

有些情况下，序列的记忆是关于过去外部干扰的记忆。

在这种情况下，可以表示成过去干扰值和现在干扰值的线性组合，此类模型常称为序列的移动平均模型。

如果一个随机过程可用下式表示。

其中，是回归参数，是白噪声过程，满足则上式称为q阶移动平均模型，记为。

（1.3）

这个式子说明序列的当前值由序列从当前值前推长度为N的窗口内序列值决定。

在平均移动模型（MA）中，时间序列是一种未观测到的时间序列的平均移动的结果，如下：

（1.4）

e为一个独立同分布的随即变量，c为常数，且c≤1。

在平均移动参数c上的限制保证了过程是可以转换的。

表明未来事件不太可能影响现在的事件，而且此过程是稳定的；

对于e的限制，如同AR过程中的e，是一个具有零均值和方差为r的独立同分布随机变量。

已观测到的时间序列C是未来观测到随机时间序列平均移动的结果。

由于平均移动过程，所有过去和短期记忆的结果存在一个线性的依赖。

3.3自回归移动平均ARMA（p,q）模型

模型使用两个多项式的比率近似一个较长的AR多项式,即其中p+q个数比AR（p）模型中阶数p小。

前二种模型分别是该种模型的特例。

一个ARMA过程可能是AR与MA过程、几个AR过程、AR与ARMA过程的迭加,也可能是测度误差较大的AR过程。

“自回归移动平均过程ARMA（p,q）”主要介绍自回归移动平均过程。

如果序列的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部干扰存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部干扰，这种模型叫做自回归滑动平均模型，即ARMA（p,q）模型。

当表示为即为ARMA（p,q）模型的传递形式，或的Wold分解，称为Gr