江苏省南京市届高三数学第三次模拟考试试题Word格式.docx

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4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为．

5．已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为．

6．若实数x，y满足则的取值范围为．

7.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：

①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；

②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；

③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；

④若l∥α，α⊥β，则l⊥β．

其中真命题为（填所有真命题的序号）．

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为．

9．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为．

10．若f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且f（x）＝则f（a+1）的值为．

11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：

x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为．

12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若·

＝5，·

＝－，则·

的值为．

13．若正数a，b，c成等差数列，则＋的最小值为．

14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f（x）＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为．

（1）求cos2α的值；

Q

P

（2）求2α－β的值.

x

O

（第15题图）

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点．

（1）求证:

平面PBC⊥平面ABC；

（2）若PD∥平面AEM，求PM的长．

17．（本小题满分14分）

如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为．若在半圆弧，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（≤θ＜）．

（1）试用θ表示BD的长；

（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为.已知过点M（，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）试问x轴上是否存在定点N，使得·

为定值．若存在，求出点N的坐标；

若不存在，请说明理由.

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'

（x）为f（x）的导函数．

（1）若f（x）的极大值为0，求实数a的值；

（2）若函数g（x）＝f（x）＋6x，求g（x）在[0，1]上取到最大值时x的值；

（3）若关于x的不等式f（x）≥f'

（x）在[，]上有解，求满足条件的正整数a的集合．

20．（本小题满分16分）

若数列{an}满足：

对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．

（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：

数列{an}为“T数列”；

（2）若公差为d的等差数列{an}为“T数列”，求d的取值范围；

（3）若数列{an}为“T数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜a－a＜an＋1，求数列{an}的通项公式．

南京市2018届高三年级第三次模拟考试

数学附加题2018.05

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

在△ABC中，AC＝AB，M为边AB上一点，△AMC的外接圆交BC边于点N，BN＝2AM，

求证：

CM是∠ACB的平分线．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝，B＝，若直线l:

x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，），圆心C为直线sin（θ－）＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

D．选修4—5：

不等式选讲

已知a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（1，a）（a＞0）是抛物线C上一点，且AF＝2．

（1）求p的值；

（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．

23．（本小题满分10分）

已知fn（x）＝Ax（x＋1）…（x＋i－1），gn（x）＝A＋x（x＋1）…（x＋n－1），其中x∈R，n∈N*且n≥2．

（1）若fn

（1）＝7gn

（1），求n的值；

（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn（x）＋gn（x）＝0所有解的集合．

参考答案

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

1．{－3，－2，2}2．3．1504．75．6．[，2]7．①③

8．9．410．211．x＋2y－4＝012．－313．14．[e，4e]

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

解：

（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，

所以cosα＝，………………………………2分

所以cos2α＝2cos2α－1＝．………………………………4分

（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．………………………………6分

又因为β为锐角，所以cosβ＝．………………………………8分

因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，

因此sin2α＝2sinαcosα＝，……………………………10分

所以sin（2α－β）＝×

－×

＝．……………………………12分

因为α为锐角，所以0＜2α＜π．

又cos2α＞0，所以0＜2α＜，

又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．…………………………………14分

16．（本小题满分14分）

（1）证明：

如图1，连结PE．

因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，

所以PE⊥BC，……………………2分

且PE＝，同理AE＝．

因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分

因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，

所以PE⊥平面ABC．

因为PE平面PBC，

所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分

（2）解法一

如图1，连接CD交AE于O，连接OM．

因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，

所以PD∥OM，……………………………………9分

所以＝．……………………………………11分

因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，

所以O为ABC重心，所以＝，

所以PM＝PC＝．…………………………………14分

解法二

如图2，取BE的中点N，连接PN．

因为D，N分别为AB，BE的中点，

所以DN∥AE．

又DN平面AEM，AE平面AEM，

所以DN∥平面AEM．

又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，

所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分

又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，

所以ME∥PN，所以＝．………………………………11分

因为E，N分别为BC，BE的中点，

所以＝，所以PM＝PC＝．………………………………14分

（1）连结DC．

在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，

所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝2．………………………………2分

因为BC为直径，所以∠BDC＝，

所以BD＝BCcosθ＝2cosθ．………………………………4分

（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝2cosθ，

所以＝＝，

所以DF＝4cosθsin（＋θ），………………………………6分

且BF＝4cosθ，所以DE＝AF=4－4cosθ，………………………………8分

所以DE＋DF＝4－4cosθ＋4cosθsin（＋θ）=sin2θ－cos2θ＋3

＝2sin（2θ－）＋3．…………………………………12分

因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，

所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．……………13分

答：

当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．…………………………………14