概率论与数理统计教案可编辑修改word版Word文档格式.docx

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在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。

1.1随机试验

具有如下特点的试验称为随机试验：

①可以在相同的条件下重复地进行。

②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。

③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

1.2样本空间、随机事件

（1）样本空间

我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。

样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。

（2）随机事件

我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。

在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

由一个样本点组成的单点集称为基本事件。

样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。

空集∅不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，∅称为不可能事件。

（3）事件间的关系与事件的运算

设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak

（k=1，2，……）是S的子集：

①若A⊂B，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。

若A⊂B且B⊂A，即A=B，则称事件A与

事件B相等。

②事件A⋃B={x|x∈Ax∈B}称为事件A与事件B的和事件。

当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件

A⋃B发生。

③事件A⋂B={x|x∈Ax∈B}称为事件A与事件B的积事件。

当且仅当A，B同时发生时，事件AB发生。

A⋂B也记作AB。

④事件A-B={x|x∈A且x∉B}称为事件A与事件B的差事件。

当且仅当A发生，B不发生时事件A-B发生。

⑤若A⋂B=∅，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。

基本事件是两两互不相容的。

⑥若A⋃B=SA⋂B=∅，则称事件A与事件B互为逆事件。

又称事件A与事件B互为对立事件。

A的对立事件记为A。

A=S-A。

设A，B，C为事件，则有：

交换律：

A⋃B=B⋃AA⋂B=B⋂A

结合律：

A⋃（B⋃C）=（A⋃B）⋃C

A⋂（B⋂C）=（A⋂B）⋂C

分配率：

A⋃（B⋂C）=（A⋃B）⋂（A⋃C）

A⋂（B⋃C）=（A⋂B）⋃（A⋂C）

摩根率：

A⋃B=A⋂BA⋂B=A⋃B

1.3频率与概率

（1）频率

定义：

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。

比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn（A）。

频率具有如下基本性质：

①0≤fn（A）≤1

②fn（S）=1

③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件则fn（A1∪A2∪…∪Ak）=fn（A1）+fn（A2）+…

+fn（Ak）。

（2）概率

设E是随机试验，S是它的样本空间。

对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（·

）满足下列条件：

①非负性：

对于每一个事件A，有P（A）≥0。

②规范性：

对于必然事件S，有P（S）=1。

③可列可加性：

设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj=∅，i≠j，i，j=1，2，…，有P（A1∪A2∪…

∪）=P（A1）+P（A2）+…

概率的性质：

性质1：

P（∅）=0

性质2（有限可加性）：

若A1，A2，…，An

是两两互不相容的事件，则有P（A1∪A2

∪…∪An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。

性质3：

设A，B是两个事件，若A⊂B，则有P（B-A）=P（B）-P（A）；

P（B）≥P（A）。

性质4：

对于任一事件A，P（A）≤1。

性质5（逆事件的概率）：

对于任一事件A，有

P（A）=1-P（A）。

性质6（加法公式）：

对于任意两个事件AB，有

P（A⋃B）=P（A）+P（B）-P（AB）。

1.4等可能概型（古典概型）

具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：

①试验的样本空间只包含有限个元素。

②试验中每个基本事件发生的可能性相同。

若事件A包含k个基本事件，即A={ei1}∪

{ei2}∪…∪{eik}，其中i1，i2，…，ik是1，2，…，n中某k个不同的数，则等可能概型中事件A的概率计算公式为：

k

P（A）=∑P（{e}）=k=A包含的基本事件数

ijnS中基本事件的总数

j=1

超几何分布的概率公式为：

⎛D⎫⎛N-D⎫⎛N⎫

ç

⎪ç

⎪ç

⎪

⎝k⎭⎝n-k⎭⎝n⎭

实际推断原理：

概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。

教学后记

本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练

习。

第二周

条件概率与独立性

使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用

全概率公式与贝叶斯公式

1.5条件概率

（1）条件概率

设A，B是两个事件，且P（A）>

0，称P（B|A）=P（AB）为在事件A发生的条件下

P（A）

事件B发生的条件概率。

条件概率P（·

|A）满足：

对于每一事件B，有P（B|A）≥0。

对于必然事件S，有P（S|A）=1。

设B1，B2，…是两两互不

∞∞

相容的事件，则有P（⋃Bi|A）=∑P（Bi|A）

i=1i=1

概率的性质都适用于条件概率。

（2）乘法定理

乘法定理：

设P（A）>

0，则有

P（AB）=P（B|A）P（A）（乘法公式）

一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，n≥2，且P（A1A2…An）>

P（A1A2…An）=P（An|A1A2…An-1）P（An-

1|A1A2…An-2）…P（A2|A1）P（A1）

（3）全概率公式和贝叶斯公式

设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若

①BiBj=∅，i≠j，i，j=1,2，…，n

②B1⋃B2⋃⋯⋃Bn=S

则称B1，B2，…，Bn是样本空间S的一个划分。

若B1，B2，…，Bn是样本空间S的一个划分，那么对每次试验，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个发生。

定理：

设试验E的样本空间为S，A为E的

事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（Bi）>

0（i=1，2，…，n），则P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+

P（A|Bn）P（Bn）（全概率公式）

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，

且P（A）>

0，P（Bi）>

0（i=1，2，…^，n），则

P（B|A）=P（BiA）=P（A|Bi）P（Bi）

iP（A）∑n

P（A|Bn）P）（Bj）

（贝叶斯（Bayes）公式）

1.6独立性

设A，B是两事件，若满足等式P（AB）=P（A）P（B），则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。

设A，B是两事件，且P（A）>

0。

若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B），反之亦然。

若事件A与B相互独立，则下列各式也相互独立：

A与B，A与B，A与B。

设A，B，C是三个事件，若满足等式P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），

P（AC）=P（A）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C），

则称事件A，B，C相互独立。

一般地，设A1，A2，…，An是n（n≥2）个事件，若对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。

推论：

①若事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的。

②若n个事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个

事件仍相互独立。

本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用

尚需多加练习。

第三周

概率论基本概念习题解析

使学生巩固概率论基本概念所学内容

古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用

1.一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。

（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。

（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。

解：

（1）共有5+2+3+2=12名学生，在其

中任选4名共有⎛12⎫=495种选法，其中每

⎝4⎭

年级各选1名的选法有⎛5⎫⎛2⎫⎛3⎫⎛2⎫=60种

⎝1⎭⎝1⎭⎝1⎭⎝1⎭

选法，因此，所求概率为p=60/495=4/33。

（2）在12名学生中任选5名的选法共有

⎛12⎫

⎪=792种，在每个年级中有一个年级取2

⎝5⎭

名，而其它3个年级各取1名的取法共有

⎛5⎫⎛2⎫⎛3⎫⎛2⎫⎛5⎫⎛2⎫⎛3⎫⎛2⎫

⎛5⎫⎛2⎫⎛3⎫⎛2⎫

⎪+ç

⎪+

⎝2⎭⎝1⎭⎝1⎭⎝1