概率论与数理统计教案可编辑修改word版Word文档格式.docx

1、在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。1.1随机试验具有如下特点的试验称为随机试验：可以在相同的条件下重复地进行。每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。1.2样本空间、随机事件（1）样本空间我们将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S。样本空间的元素即 E 的每个结果，称为样本点。（2）随机事件我们称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。由一个样本

2、点组成的单点集称为基本事件。样本空间 S 包含所有的样本点，它是 S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S 称为必然事件。空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生， 称为不可能事件。（3）事件间的关系与事件的运算设试验 E 的样本空间为 S，而 A，B，Ak（k=1，2，）是 S 的子集：若 A B ，则称事件 B 包含事件 A，这指的是事件 A 发生必导致事件 B 发生。若 A B 且 B A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。事件 A B = x | x A x B 称为事件 A 与事件 B 的和事件。当且仅当 A，B 中至少有一个发生时，事件

3、A B 发生。事件 A B = x | x A x B 称为事件 A 与事件 B 的积事件。当且仅当A，B 同时发生时，事件 A B 发生。 A B 也记作 AB。事件 A - B = x | x A且x B称为事件 A 与事件 B 的差事件。当且仅当 A 发生，B 不发生时事件 A-B 发生。若 A B = ，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的。基本事件是两两互不相容的。若 A B = S A B = ，则称事件 A 与事件B 互为逆事件。又称事件 A 与事件 B 互为对立事件。A 的对立事件记为 A 。 A = S - A 。设 A，B，C 为事件，则有：交换律： A B = B

4、 A A B= B A结合律： A （B C） = （ A B） CA （B C） = （ A B） C分配率： A （B C） = （ A B） （ A C）A （B C） = （ A B） （ A C）摩根率： A B = A B A B = A B1.3 频率与概率（1）频率定义：在相同的条件下，进行了 n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件A 发生的频数。比值nA/n 称为事件A 发生的频率，并记为 fn（A）。频率具有如下基本性质：0fn（A）1fn（S）=1若 A1，A2，Ak 是两两互不相容的事件则 fn（A1 A2 Ak）=fn（A1）+fn（A

5、2）+fn（Ak）。（2）概率设 E 是随机试验，S 是它的样本空间。对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为P（A），称为事件 A 的概率，如果集合函数P（）满足下列条件：非负性：对于每一个事件 A，有 P（A）0。规范性：对于必然事件 S，有 P（S）=1。可列可加性：设 A1，A2，是两两互不相容的事件，即对于 AiAj= ，ij，i，j=1， 2， ， 有 P（A1 A2 ）=P（A1）+P（A2）+概率的性质： 性质 1： P（） = 0性质 2（有限可加性）：若 A1，A2，An是两两互不相容的事件， 则有 P（A1A2An）=P（A1）+P（A2）+P（An）。性质 3：设

6、A，B 是两个事件，若 A B ， 则有 P（B-A）=P（B）-P（A）；P（B）P（A）。性质 4：对于任一事件 A，P（A）1。性质5（逆事件的概率）：对于任一事件A，有P（ A） = 1 - P（ A） 。性质6（加法公式）：对于任意两个事件AB，有P（ A B） = P（ A） + P（B） - P（ AB） 。1.4 等可能概型（古典概型）具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：试验的样本空间只包含有限个元素。试验中每个基本事件发生的可能性相同。若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A=ei1ei2eik，其中 i1，i2，ik 是 1， 2，n

7、 中某 k 个不同的数，则等可能概型中事件 A 的概率计算公式为：kP（ A） = P（e ） = k = A包含的基本事件数ij n S中基本事件的总数j =1超 几 何 分 布 的 概 率 公 式 为 ： D N - D N k n - k n 实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。第二周条件概率与独立性使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用全概率公式与贝叶斯公式1.5 条件概率（1）条件概率设 A，B 是两个事件，且 P（A）0， 称P

8、（B | A） = P（ AB） 为在事件A 发生的条件下P（ A）事件 B 发生的条件概率。条件概率 P（|A）满足：对于每一事件 B，有 P（B|A）0。对于必然事件 S，有 P（S|A）=1。设 B1，B2，是两两互不 相容的事件，则有P（ Bi | A） = P（Bi | A）i=1 i=1概率的性质都适用于条件概率。（2）乘法定理乘法定理：设 P（A）0，则有P（AB）=P（B|A）P（A） （乘法公式）一般地，设 A1，A2，An 为 n 个事件，n2，且 P（A1A2An）P（A1A2 An）=P（An|A1A2 An-1）P（An-1|A1A2An-2）P（A2|A1）P（A1

9、）（3）全概率公式和贝叶斯公式 设 S 为试验 E 的样本空间， B1， B2，Bn 为 E 的一组事件，若BiBj= ，ij，i，j=1,2，n B1 B2 Bn = S则称 B1，B2，Bn 是样本空间 S 的一个划分。若B1，B2，Bn是样本空间S 的一个划分，那么对每次试验，事件 B1，B2，Bn 中必有一个且仅有一个发生。定理：设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，B1，B2，Bn 为 S 的一个划分， 且 P（Bi）0（i=1，2，n），则P（A）=P（A|B1）P（B1）+ P（A|B2）P（B2）+ +P（A|Bn）P（Bn） （全概率公式）设试验 E 的样本空间为

10、 S，A 为 E 的事件，B1，B2，Bn 为 S 的一个划分，且 P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，n），则P（B | A） = P（Bi A） = P（ A | Bi ）P（Bi ）i P（ A） nP（ A | Bn ）P）（Bj ）（贝叶斯（Bayes）公式）1.6 独立性设 A，B 是两事件，若满足等式P（AB）=P（A）P（B），则称事件 A，B 相互独立，简称 A，B 独立。设 A，B 是两事件，且 P（A）0。若 A，B相互独立，则 P（B|A）=P（B），反之亦然。若事件 A 与 B 相互独立，则下列各式也相互独立：A 与B ， A 与 B， A 与B 。设 A，B，C

11、是三个事件，若满足等式 P（AB）=P（A）P（B）， P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C），则称事件 A，B，C 相互独立。一般地，设 A1，A2，An 是 n（n2） 个事件， 若对于其中任意 2 个， 任意 3 个，任意 n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积， 则称事件 A1， A2，An 相互独立。推论：若事件 A1，A2，An（n2）相互独立，则其中任意 k（2kn）个事件也是相互独立的。若 n 个事件 A1，A2，An（n2）相互独立，则将 A1，A2，An 中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的 n 个

12、事件仍相互独立。本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。第三周概率论基本概念习题解析使学生巩固概率论基本概念所学内容古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用1.一俱乐部有 5 名一年级学生，2 名二年级学生，3 名三年级学生，2 名四年级学生。（1）在其中任选 4 名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选 5 名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）共有 5+2+3+2=12 名学生，在其中任选 4 名共有12 =495 种选法，其中每 4 年级各选 1 名的选法有5 23 2 =60 种1 1 1 1 选法，因此，所求概率为 p=60/495=4/33。（2）在 12 名学生中任选 5 名的选法共有12 =792 种，在每个年级中有一个年级取25 名，而其它 3 个年级各取 1 名的取法共有5 23 2 5 23 25 23 2 + + 21 1 1