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理论力学笔记

常见约束类型

1.柔绳、铰链、胶带约束

约束反力特征：

沿着绳索背离被约束的物体。

2.光滑接触面约束

约束反力特征：

沿着约束面的公法线方向，指向被约束物体。

3.光滑圆柱铰链约束

约束反力特征：

作用线指向圆心，作用方向根据具体情况确定。

4.光滑球铰链约束

约束反力特征：

作用线指向圆心，作用方向根据具体情况确定，属于空间约束。

5.双铰链刚杆约束

约束反力特征：

不受任何主动力，属于二力杆受力。

例2-3．如图所示是汽车制动机构的一部分。

司机踩到制动蹬上的力F＝212N，方向与水平面成α＝45°。

当平衡时，BE水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。

已知EA＝24cm，DE＝6cm（点E在铅直线DA上），又B，E，D都是光滑铰链，机构的自重不计。

解：

受力图如上，分别列出x和y方向的力学平衡方程如下

x方向的力学平衡方程：

y方向的力学平衡方程：

，求得：

N

例2-4．利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重W＝20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于B点。

不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。

解：

取滑轮B（带轴销）为研究对象，受力图见上，分别列出x和y方向的平衡方程如下

x方向

y方向

上式中，kN，联合求得kN，-54.5kN（与假设方向相反）

思考题：

力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影不一定相等，不相等情况如下图。

例2-6.一简支梁AB＝d，作用一力偶，求两支座的约束反力。

解：

由于主动力为力偶，因此两支座的约束反力必然构成一个力偶来与M平衡，故，梁AB的受力图见上，故。

例2-7.如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而机构在图示位置处于平衡。

已知OA＝r，DB＝2r，，不计杆重，试求M1和M2之间的关系。

解：

杆AB为二力杆，由于力偶只能与力偶平衡，因此可确定出上述OA杆和BD杆的受力图

分别建立平衡方程最后可求得两力偶的关系为

例2-8．如图所示压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自重忽略不计。

A，B，C处为铰链连接。

已知活塞D上受到油缸内的总压力为F＝3kN，h＝200mm，l＝1500mm。

试求压块C对工件与地面的压力以及杆AB所受的力。

解：

1.AB杆和BC杆为二力杆，选取活塞杆为研究对象，受力图如上，分别列出平衡方程，

求得kN。

2.选取压块C为研究对象，受力图见上，分别列出平衡方程，求得11.25kN，1.5kN。

总结：

对于复杂的问题，要取多个研究对象进行分析求解。

例2-9．如图所示机构的自重不计。

圆轮上的销子A在摇杆BC上的光滑导槽内。

圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1＝2kN·m，OA＝r＝0.5m。

图示位置时OA与OB垂直，角，且系统平衡。

求作用于摇杆BC上的力偶的矩M2及铰链B、O处的约束力。

解：

首先取圆轮为研究对象，圆轮上销子A与导槽的约束为光滑接触面约束，受力图如上，易求得

再以摇杆AB为研究对象，受力图如上，求得kN。

例2-10.如图已知W1＝100kN，W2＝250kN。

不计各杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链。

试求平衡状态下杆AB内力及与水平的夹角。

解：

取销钉B为研究对象有三个未知量，故不能以销钉B为第一个研究对象，杆AB、杆BC和杆CD均为二力杆，首先取销钉C为研究对象，受力图如上。

求出224.23kN。

再以销钉B为研究对象，受力图如上，求出＝58.5，kN。

例2-14.如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O,其上作用有铅直荷载F.钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面Oyz,并与该平面相交于OD,而钢丝OC则沿水平轴y。

已知OD与轴z间的夹角为，又，试求各钢丝中的拉力。

解：

以节点O为研究对象，受力图如上，分别列出三个坐标轴方向的平衡方程，联合求解得

x方向：

y方向：

z方向：

联合上述求解即得。

例3-1.在长方形平板的O,A,B,C点上分别作用着四个力:

=1kN,=2kN,=3kN（如图）,试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果,以及该力系的最后合成结果.

＝

解:

0.598,0.768,0.794,0.614；

＝0.5，合成为一个力F，＝0.51m，F＝0.598，如上图示。

例3-2．伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重W＝2200N，吊车D，E连同吊起重物各重WD＝WE＝4400N。

有关尺寸为：

L＝4.3m，a＝1.5m，b＝0.9m，c＝0.15m，＝25O。

试求铰链A对臂AB的水平和垂直约束力，以及拉索BF的拉力。

解：

取杆AB为研究对象，受力图如上。

使用一矩式平衡方程，取A点为简化中心，得

，

，

，

联立求解得：

12456N，11290N，4936N

例3-3.简支梁受力分析，详细过程省略，荷载和模型图见下图，q＝100N/m，M＝500N·m。

例3-4.某飞机得单支机翼重W＝7.8kN。

飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力F＝27kN，力的作用线位置如图示，其中尺寸单位为mm，试求机翼与机身连接处的约束力。

解：

机翼和机身连接处可看作固定约束，模型简化及受力图如上，求解过程省略。

例3-5.一种车式起重机，车重＝6kN,起重机伸臂重＝4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重＝31kN。

尺寸如图所示。

设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻到的最大起吊重量。

解：

以起重机和汽车为研究对象，以B点为倾覆支点，分别列出竖向和B点临界状态时的平衡方程如下

＝0

不至于翻倒的另一个条件是

联立求解得＝7.5kN。

例3-8.A,B,C,D处均为光滑铰链,物块重为G,通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点,各构件自重不计,试求B处的约束力。

解:

首先取整体为研究对象,受力图如上，求解出；然后取AB杆为研究对象,受力图如上，此时由于变成为已知力,故只有三个未知力,可求得=-2G,=-1.5G。

例3-14.如图所示，已知重力G，DC＝CE＝AC＝CB＝2L；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R＝2r＝L，＝45O。

试求：

A、E支座的约束力及BD杆所受的力。

解：

BD杆为二力杆，力的方向可确定；首先选取整体为研究对象，受力图如上图，求出＝，，；选取DEC杆为研究对象，受力图如上，只有一个未知力FDB，可列出三个独立的平衡方程，求出。

思考题：

求解以下各支座的约束反力。

此题包括例3-14，属于静定结构的超静定问题，如列出平衡方程，理论上并不能求解，需要进行分析方能求解，详细过程忽略。

FDx＝13.25kN，FDy＝6.5kN。

例3-11.求如图所示平面桁架各杆的内力，其中＝4kN，＝2kN。

解：

分别使用节点法和截面法两种方法求解。

节点法：

首先求出支座A、B的约束反力，如上图；以A点为研究对象，受力图如上，应用平面汇交力系求解，可求出kN，kN；以此以节点A，节点C……分别为研究对象，即可求出全部杆件内力。

截面法：

首先求出支座反力，不详细阐述；使用截面截取杆FE、杆CE、杆CD如上图，建立平衡方程可求出kN，kN，kN；其它的以此可分别求出。

截面法截取曲面的例子，见下图

例3-12.求出以下桁架的各杆内力。

此题目一定不能先求桁架的约束反力，否则是没有办法求出的。

直接使用节点法，从A点开始求出，然后B点，然后使用截面法，联合求解，则可较快的得到正确解答。

例4-3.在倾角大于摩擦角的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。

试求这力容许值的范围。

解：

由于倾角大于摩擦角，故物体不会发生自锁的现象。

摩擦力方向可能向上，也可能向下，分别讨论如下。

摩擦力向上：

受力图如上图，临界平衡状态力学平衡方程为

＝0

在平衡范围内同时应满足：

摩擦力向下：

受力图如上图，临界平衡状态力学平衡方程为

＝0

在平衡范围内同时应满足：

联立求解可得F的范围为：

例4-4.一活动支架套在固定圆柱的外表面，且＝20cm。

假设支架和圆柱之间的静摩擦因数。

问作用于支架的主动力F的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。

解：

解析法

取支架为研究对象，受力分析如上图。

列出平衡方程

根据摩擦力公式，补充方程为

联立求解：

，＝40cm。

从上述推理中可看出，力F越向外移动，越不容易滑动。

几何法

临界状态时的几何关系见上图，根据几何关系求出＝＝40cm。

例4-5.图示匀质木箱重G＝5kN，它与地面间的静摩擦因数＝0.4。

图中h＝2a＝2m，。

（1）问当D处的拉力F＝1kN时，木箱是否平衡？

（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。

解：

（1）判断木箱是否平衡

以木箱为研究对象，木箱的运动趋势为向左滑动或以A点为支点翻转，受力图如上，列出平衡方程如下

附加方程为，最大静摩擦力

不滑动的条件为

不翻转的临界条件为

带入数值，两个条件分别为

0.867kN<1.8kN故不会滑动

d＝0.171m翻转的时候，d＝0且，故不会翻转。

综上述，木箱保持平衡。

（2）求保持木箱平衡时的最大拉力

要保持木箱平衡，即要求木箱满足不滑动和不翻转两个条件，受力图如上，根据上式

不滑动的临界条件为

联立求解得：

N

不翻倒得临界条件为或者

联立求解得：

N

综上述，保持木箱平衡的最小拉力F＝1442N。

滚动摩阻性质与产生原因

例4-8.匀质轮子的重量W＝300N，由半径R＝0.4m和半径r＝0.1m两个同心圆固连而成。

已知轮子与地面的滚阻系数，摩擦系数，求拉动轮子所需力的最小值。

解：

轮子有可能发生三种运动，分别是向左滚动趋势，向右滚动趋势，滑动趋势。

分别针对三种情况绘出受力图如下。

分别列出平衡方程求解得：

N，N，N。

例5-4.在三轮货车上放着一重W＝1000kN的货物，重力W的作用线通过矩形底板上的点M。

已知m，m，m，m，点D是线段的中点，。

试求A，B，C三点处地面的铅直反力。

解：

取三轮车为研究对象，受力图如上，分别对x、y列平衡方程并求解如下

＝375kN

＝212.5kN

利用竖向力的平衡求出，＝412.5kN

例5-5.涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成作用在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶，图示中，。

斜齿轮的压力角为，螺旋角为，节园半径及，尺寸均已知。

发动机的自重不计，试求输出端斜齿轮上所受的作用力以及角接触轴承和深沟球轴承处的约束反力。

解：

以整个系统为研究对象，建立如图所示的坐标系，受力图如上，其中力在坐标轴上的投影分解图见下图

，，

系统为空间平衡问题，可列出6个独立的平衡方程如下

由以上方程可求得所有的未知量

例5-6.水平传动轴上装有两个皮带轮C和D，半径分别是m，m。

套在C轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力N，N，套在D轮上的胶带与铅垂线成夹角，其拉力。

求在传动轴匀速转动时，拉力和以及深沟球轴承处约束力的大小。

解：

以整个系统为研究对象，建立如图坐标系，画出系统受力图如上图。

分别列出空间结构力系的6个（实际是5个）平衡方程求解即得到。