《高等数学同济五版》讲稿WORD版第03章中值定理与导数的应用.docx

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《高等数学同济五版》讲稿WORD版第03章中值定理与导数的应用

　　第三章中值定理与导数的应用

教学目的：

1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。

6、知道方程近似解的二分法及切线性。

教学重点：

　1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；

2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法;

3、函数图形的凹凸性;

4、洛必达法则。

教学难点:

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；

　2、极值的判断方法;

　　3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；

　4、洛必达法则的灵活运用。

§3.1中值定理

　一、罗尔定理

　　费马引理

　设函数f（x）在点ｘ0的某邻域U（x０）内有定义,　并且在x０处可导,如果对任意x∈U（x0）,有

　f（x）≤f（ｘ0）（或f（x）≥f（ｘ0））,　

那么f'（x０）=0.　　

　　罗尔定理如果函数ｙ=f（x）在闭区间[a，b]上连续,　在开区间（a,ｂ）内可导,　且有ｆ（a）=f（b）,　那么在（a,b）内至少在一点ξ,使得f'（ξ）=0.

简要证明:

（1）如果f（x）是常函数,则f　'（ｘ）≡0,定理的结论显然成立.　

（2）如果f（x）不是常函数,则f（x）在（ａ,ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点ξ∈（ａ,b）.于是

所以f　'（x）＝０.

罗尔定理的几何意义:

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间[ａ,b]上连续,　在开区间（a,　b）内可导,那么在（a,　b）内至少有一点ξ（a＜ξ

ｆ（ｂ）-f（ａ）=f　'（ξ）（b-a）

成立.

　拉格朗日中值定理的几何意义:

f'（ξ）=,

定理的证明:

引进辅函数

令ϕ（x）=f（x）-f（a）-（ｘ-ａ）.　

容易验证函数ｆ（ｘ）适合罗尔定理的条件:

ϕ（a）=ϕ（b）=0,ϕ（x）在闭区间[a,　b]　上连续在开区间（a,b）内可导,　且

ϕ'（x）=f'（x）-.

根据罗尔定理,可知在开区间（ａ,b）内至少有一点ξ,使ϕ'（ξ）=0,即

ｆ'（ξ）-=０.　

由此得　　　　　=f　'（ξ）　,

即　　　　　f（b）-f（a）=f　'（ξ）（ｂ-a）.

定理证毕.　

　　f（ｂ）-ｆ（a）=f'（ξ）（b-a）叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b＜a也成立.　

　　拉格朗日中值公式的其它形式:

　设ｘ　为区间[a,　b］内一点,　ｘ+∆ｘ为这区间内的另一点（∆x＞０或∆ｘ<0）,　则在［x,x+∆x]　（∆x>0）或[x+∆ｘ,x]（∆x<0）应用拉格朗日中值公式,得

f（ｘ+∆ｘ）-f（x）=f'（x+θ∆x）∆x（0<θ<１）.　

　　如果记ｆ（x）为y,则上式又可写为

∆ｙ=f'（x+θ∆x）∆ｘ（0<θ<1）.　

试与微分dy=f'（ｘ）∆ｘ　比较:

ｄy=f'（x）∆x是函数增量∆y的近似表达式,而

f'（x+θ∆x）∆x是函数增量∆y　的精确表达式.

　　作为拉格朗日中值定理的应用,我们证明如下定理:

定理如果函数f（x）在区间I上的导数恒为零,那么f（x）在区间I上是一个常数.

证在区间I上任取两点x1,x2（x1

f（ｘ２）-f（x1）=f'（ξ）（x2-x１）（x１＜ξ

由假定,　ｆ'（ξ）=0,所以f（ｘ２）-f（x１）=０,即

f（x２）=f（ｘ１）.

因为x1,　x２是I上任意两点,所以上面的等式表明:

ｆ（x）在I上的函数值总是相等的,　这就是说,f（ｘ）在区间Ｉ上是一个常数.　

　例2.证明当x>0时,　.

　　证设ｆ（ｘ）=ln（1+x）,显然ｆ（x）在区间［0,　ｘ]上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有

　　　　f（x）-ｆ（0）=f　'（ξ）（x-0）,　０<ξ

由于ｆ（0）=0,　,因此上式即为

　　　.

又由0<ξ

　.

三、柯西中值定理

设曲线弧C由参数方程

　　　　　　　（ａ≤ｘ≤ｂ）

表示,其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线Ｃ上必有一点x=ξ,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦ＡB,　曲线C上点ｘ=ξ处的切线的斜率为

　,

弦AB的斜率为　　　　

　.

于是

　.

　柯西中值定理如果函数ｆ（x）及F（x）在闭区间［ａ,　b］上连续,在开区间（a,b）内可导,　且F'（x）在（ａ,ｂ）内的每一点处均不为零,　那么在（a,b）内至少有一点ξ,使等式

　　.

成立.　

　显然,　如果取F（x）=ｘ,那么F（b）-F（a）=b-a,F　'（ｘ）=1,　因而柯西中值公式就可以写成:

f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）（ａ<ξ

这样就变成了拉格朗日中值公式了.

§3.3　泰勒公式

　　对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,　便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.

在微分的应用中已经知道,当|x｜很小时,　有如下的近似等式:

　　ex　≈1+x,ln（１+ｘ）≈x.　

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:

　首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;　其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小.　因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,　同时给出误差公式.

　　设函数f（x）在含有x0的开区间内具有直到（ｎ+1）阶导数,现在我们希望做的是:

找出一个关于（x-x０）的n次多项式

　　　　　　pn（x）=ａ0+ａ　１（ｘ-x0）+　a２（x-x０）2+⋅⋅　⋅+a　ｎ　（x-x0　）n

来近似表达f（ｘ）,要求p　n（x）与f（x）之差是比（x-x０　）n高阶的无穷小,并给出误差|f（ｘ）-pn（x）|的具体表达式.

我们自然希望pn（x）与f（x）在x0的各阶导数（直到（n+１）阶导数）相等,这样就有

　　pｎ（x）=a０+ａ1（x-x0）+a２（ｘ-x0）2+⋅⋅　⋅+ａｎ（ｘ-ｘ0　）n　,　

　　pn'（x）=　ａ　１+2a2（ｘ-ｘ０　）+⋅⋅⋅　+nan（ｘ-x0　）ｎ-１,　

　　　　p　n''（x）=２　a　2+３⋅2a3（ｘ-x０　）+⋅　⋅⋅+ｎ（ｎ-１）an　（x-x0　）　n-2　,

　　　　pn'''（x）=３!

a3+4⋅3⋅2a４（x-x0）　+⋅⋅⋅　+　ｎ（n-1）（n-２）a　n（x-x0）　n-3　,

　　　　⋅　⋅⋅　⋅⋅⋅,

　　　pn（n）（x）=n!

an　.

于是

　　　ｐn　（ｘ0　）=a　０,　p　n'（x0）=ａ　1　,pｎ''（x０）=２!

　a２,　pｎ'''（ｘ）=３!

a3　,⋅⋅⋅,p　ｎ（n）（x）=n!

a　n.　

按要求有

　　f（x０）=pn（x０）=a0,　ｆ　'（x0）=pn'（x0）=a1　,f''（ｘ0）=pn''（x0）=２!

a２,　ｆ'''（x0）=　pｎ'''（x0）=３!

a3,

　⋅⋅　⋅⋅　⋅⋅

　　f（n）（x０）=pｎ（ｎ）（ｘ0）=ｎ！

an.

从而有

　　　a0=ｆ（x0）,　a1=f'（ｘ0）,,⋅⋅⋅　,,.

（k=0,1,２,⋅　⋅　⋅,n）.

于是就有

　　pn（x）=ｆ（x０）+ｆ'（ｘ0）（x-x0）（ｘ-x0）２　+⋅　⋅⋅（x-x0）　n.

　泰勒中值定理　　如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（ａ,b）内具有直到（n+１）的阶导数,则当x在（a,b）内时,f（ｘ）可以表示为（x-x0　）的一个n次多项式与一个余项Rｎ（x）之和:

其中（ξ介于x０与x之间）.

这里

　　多项式

　.

称为函数ｆ（x）按（x-ｘ０）的幂展开的n次近似多项式,公式

　　+⋅　⋅⋅,

称为f（ｘ）按（ｘ-x0）的幂展开的ｎ阶泰勒公式,而Rn（x）的表达式

其中（ξ介于x与x0之间）.　

称为拉格朗日型余项.

当ｎ=0时,　泰勒公式变成拉格朗日中值公式:

　f（x）=f（x０）+f'（ξ）（x-x0）（ξ在ｘ０与x之间）.

因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.　

　如果对于某个固定的ｎ,　当x在区间（a,b）内变动时,｜f（ｎ+1）（ｘ）｜总不超过一个常数M,则有估计式:

　,

及.

可见,　妆x→x０时,误差|Rn（ｘ）|是比（ｘ-x０）ｎ高阶的无穷小,即

　Rn　（x）=ｏ[（x-ｘ0）n].

在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成

　+⋅⋅⋅.

当ｘ0　=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式,就是

　　,

或,

其中.

由此得近似公式:

　　.

误差估计式变为:

　　.

例1．写出函数f（x）=ｅｘ的n　阶麦克劳林公式.　

解:

因为f（x）=f'（x）=f''（x）=⋅⋅⋅=f（ｎ）（ｘ）=e　ｘ　,　

所以f（0）=f'（0）=f''（0）=　⋅　⋅⋅　=ｆ（　n）（0）=1　,

于是　　（0<θ<1）,

并有　.　

这时所产性的误差为

　　　|Rn（ｘ）|=|xｎ+1｜<|x|n+1.

　　当x=1时,可得ｅ的近似式:

.

其误差为｜Rn|＜.

例2.求f（ｘ）=siｎx的n阶麦克劳林公式.

解:

因为

f'（x）=ｃｏsx　,f''（ｘ）=-sinx,　f　'''（x）=　-cosx,　

　,⋅⋅　⋅,,

f（0）=０,f　'（0）=1,f　''（0）=0,ｆ'''（0）=-1,f　（４）（0）=０,⋅⋅　⋅,

于是.　

当m=1、2、３时,有近似公式

　　ｓin　x≈x,　　,.　

§３.４　函数单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

　如果函数ｙ=f（x）在[ａ,b]上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.　这时曲线的