中考数学综合题专题复习圆专题解析Word下载.docx
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三.知识框图：
【典型例题】
【例1】.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。
这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
分析：
爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：
解：
∴点导火索的人非常安全
【例2】.已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。
分析：
要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。
为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。
此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。
解：
分两种情况讨论：
（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图
（1）：
过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F
连OC、OB，则CE＝DE
∵AB∥CD，OE⊥CD
∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高
在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图
（2）：
过O作OE⊥CD于E，交AB于F
以下证法同
（1），略。
【例3】.如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·
tanD的值。
为了求tanC·
tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。
而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。
连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。
可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·
tanD转化为
连结BC、BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°
∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC
作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F
则△AEC∽△ADB
∴AC·
AD＝AE·
AB
同理，BD·
BC＝BF·
∵△APE∽△BPF
∵P为半径OB的中点
∴tanC·
tanD＝3
【例4】.
由已知条件，等边△ABC可得60°
角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°
，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。
证明：
延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝∠ABC＝60°
，AB＝AC
∴∠ADB＝∠ACB＝60°
∵四边形ABDC是圆内接四边形
∴∠ABE＝∠ACD
在△AEB和△ADC中，
∴AE＝AD
∵∠ADB＝60°
∴△AED是等边三角形
∴AD＝DE＝DB＋BE
∵BE＝DC
∴DB＋DC＝DA
说明：
本例也可以用其他方法证明。
如：
（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。
（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。
【例5】.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。
在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。
连结OD，BD
∴∠ABC＝∠AOD
∴OD∥BC
∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO
∴AB＝16，BE＝24
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠EDA＝∠EBC
∵∠E是公共角
∴△EDA∽△EBC
设AD＝DC＝x，ED＝y，则有
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝∠F＝90°
又∠DAB＝∠FCB
∴Rt△ADB∽Rt△CFB
与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。
此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。
【例6】.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于
连结FD
∵AB是直径，∴AD⊥BC
∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB
∵四边形ABDF是圆内接四边形
∴∠CFD＝∠B
∵∠C是公共角
∴△ABC∽△DFC
∵AB＝AC
∴CD＝DF
（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。
）
∵DE切⊙O于D
∴∠FAD＝∠EDF
又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB
∴∠CDE＝∠DAB
∴∠CDE＝∠EDF
∵CD＝FD
∴CE＝EF，DE⊥CF
∴设CD＝3x，AC＝5x
∴EC＝9
【例7】.如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。
求两圆相交弧间阴影部分的面积。
∵公共弦AB＝120
【例8】.一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。
打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图
（1）所示。
经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。
（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）。
（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果
解题点拨：
四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；
求AB长，只要计算出如图
（2）中的O1E长即可。
（1）如图
（2），作O1E⊥O2O3
∴四边形ABCD的面积是：
（2）制作一个烟盒至少需要纸张：
【例9】.在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。
一小于直径的弦所对的弓形有两个：
劣弧弓形与优弧弓形。
如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm
故所求弓形的高为4cm或16cm
【例10】.
求：
∠CAD所夹圆内部分的面积。
符合题设条件的图形有两种情况：
（1）圆心O在∠CAD的内部，如图
（1），连结OC、OD，过O作OE⊥AD于点E
∴OC⊥AB
（2）圆心O在∠DAC的外部时，如图
（2），有：
【例11】.
由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。
（1）当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图
（1）连结OD、OB。
∵M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O
图
（1）
（2）当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图
（2），连结OB、OC
图
（2）
（3）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的内部时，如图（3），∠DPA是圆内角，
图（3）
（4）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的外部时，如图（4）
图（4）
【例12】.已知：
如图，圆心A（0，-3），圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。
两圆内公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N：
（1）求证△AOB∽△NPB；
（2）设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：
r2＝3：
2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；
（3）设点B（x1，0），点B关于y轴的对称点B’（x2，0），若x1·
x2＝-6，求过B’、A、B三点的抛物线解析式；
（4）若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC＝时，B点在x轴的什么位置？
从你的解答中能获得什么猜想？
（1）
设直线MP的解析式为y＝kx＋b，
（3）设抛物线为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
令y＝0，则有ax2＋bx＋c＝0
∵B与B’关于y轴对称，
∴x1＋x2＝0，即b＝0，
又点A（0，-3），∴C=-3
（4）∵MC＝MP
∴可证△APM≌△AOB
猜想：
圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。
【模拟试题】
一.选择题：
（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案）
1.已知AB是⊙O的直径，半径EO⊥AB于O，弦CD⊥EO于F点，若∠CDB＝120°
，则的度数为（）
A.10°
B.15°
C.30°
D.60°
2.如图，已知⊙O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且的度数为130°
、90°
，则∠MON的度数为（）
A.70°
B.90°
C.130°
D.160°
3.已知△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，若r是内切圆半径，则△ABC的面积可以表示为（）
A.B.
C.D.
4.已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若，则这两圆的位置关系为（）
A.外离或外切B.相交或内切
C.外切或内切D.内切或内含
5.已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（）
A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形
6.已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（）
A.B.C.D.
二.填空题：
（本题共16分，每小题4分）
7.已知△ABC，∠C＝90°
，∠B＝28°
，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则的度数为_____________。
8.已知△ABC内接于⊙O，F、E是的三分之一点，若∠AFE＝130°
，则∠C＝____________度。
9.已知PA切⊙O于A，∠APO＝30°
，若，OP交于⊙O于C，则PC＝____________。
10.两圆半径之比为2：
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