求离心率的范围问题Word格式文档下载.docx

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3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

练习

利用曲线的范围建立不等关系

1.F1，F2是椭圆＋＝1（a>

b>

0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°

，求椭圆的离心率的取值范围.

2.A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________.

3.设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（）

A．B．C．D．

4.

5.设F1（－c，0），F2（c，0）分别是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

6．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

利用线段长度的大小建立不等关系

7.设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。

8.已知以椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F为圆心，a为半径的圆与直线l：

x＝（其中c＝）交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是____________.

9.若双曲线x2－＝1（b＞0）的一条渐近线与圆x2＋（y－2）2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.

10.已知双曲线（，），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.B.C.D.

11.设F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A.（1，＋∞）B.（1，）C.（－1，＋1）D.（1，1＋）

12.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为,.这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（）

13.若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2（a＞b＞0）和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为（　　）

14.若在线段上（不含端点）有且仅有两个不同的点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A.B.C.D.

利用角度长度的大小建立不等关系

15.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°

.求椭圆离心率的取值范围；

16.

17.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

利用题目不等关系建立不等关系

18.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

19.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

　A．B．C．D．

20.过双曲线－＝1（a>

0，b>

0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为（　　）

21.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

22.过椭圆C：

＋＝1（a>

0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<

k<

，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

23．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．

利用判别式建立不等关系

24.设双曲线与直线相交于不同的点A、B。

求双曲线的离心率e的取值范围。

25.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（）

26.在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，椭圆的离心率的取值范围是;

与双曲线渐近线的斜率比较建立不等式

27.若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）

28.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是（　　）

A.（1，2）B.（1，2]C.（1，）D.（1，]

29.若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（）

30.已知圆（x－1）2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

A．（1，）B．（1,2）C．（，＋∞）D．（2，＋∞）

函数法

31.

32.已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（）

33.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．

34.是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点,若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（）

35.已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是　　.

36.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）

求离心率的范围问题参考答案

6.利用判别式建立不等关系。

利用曲线的范围，建立不等关系

方法一、利用曲线的范围，建立不等关系

【解析】　设P（x0，y0）为椭圆上一点，则＋＝1.＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0），

若∠F1PF2＝90°

，则·

＝x02＋y02－c2＝0.∴x02＋b2（1－）＝c2，∴x02＝.

∵0≤x02≤a2，∴0≤≤1.∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<

1.【答案】　≤e<

1

方法二：

利用基本不等式，建立不等关系

方法三：

利用线段长度的大小，建立不等关系

方法四：

利用角度长度的大小，建立不等关系

方法五、利用判断式确定不等关系

解：

由椭圆定义知

:

解析：

设椭圆方程为=1（a＞b＞0）,

以OA为直径的圆：

x2－ax+y2=0,两式联立消y得x2－ax+b2=0.

即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=－a,0＜x2＜a，

即0＜－a＜a＜e＜1.答案：

＜e＜1

解法一：

由题意知F1（－c，0），F2（c，0），P，∵PF1的中垂线过点F2，∴|F1F2|＝|F2P|，即2c＝，整理得y2＝3c2＋2a2－.

∵y2≥0，∴3c2＋2a2－≥0，即3e2－＋2≥0，解得e≥.∴e的取值范围是.

解法二：

设直线x＝与x轴交于M点，则|F1F2|＝|F2P|≥|MF2|，即2c≥－c，整理得≤e2<

1，

≤e<

1.∴椭圆离心率的取值范围是.故选D.

【答案】C

【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程

为：

，与椭圆方程联立得：

，此方程在区间上有解，

由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，

所以，结合，解得，根据离心率公式可得．故选C．

由双曲线第一定义得：

，与已知联立解得：

，由三角形性质得：

解得：

。

，

点P在双曲线右支上由图1可知：

，，即，

两式相加得：

，解得：

解法三：

，，，

即，解得：

解法四：

由双曲线的定义知①；

又，②

联立①②解得，，

在中，由余弦定理，得，

要求的最大值，即求的最小值，当时，解得，即的最大值为．

易知右焦点F（c，0），由题意得a＞－c，即e2＋e－1＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1.故填.

解析　双曲线的渐近线方程为y＝±

bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，得1＜e≤2.

答案　（1，2]

【答案】D【解析】是双曲线通径，，由题意，即，，即，解得（舍去），故选D．

11.设F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右两