考研数学二真题1995年Word文件下载.docx

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（）

（A）对任意（B）对任意

（C）函数单调增加（D）函数单调增加

（4）设函数在上,则或的大小顺序是（）

（A）（B）

（C）（D）

（5）设可导,,若使在处可导,则必有（）

三、（本题共6小题,每小题5分,满分30分.）

（1）求.

（2）设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求.

（3）设,且,求.

（4）设试讨论在处的连续性.

（5）求摆线一拱（）的弧长.

（6）设单位质点在水平面内作直线运动,初速度,已知阻力与速度成正比（比例常数为1）,问为多少时此质点的速度为？

并求到此时刻该质点所经过的路程.

四、（本题满分8分）

求函数的最大值和最小值.

五、（本题满分8分）

设是微分方程的一个解,求此微分方程满足条件的特解.

六、（本题满分8分）

如图,设曲线的方程为,且,又分别为该曲线在点处的切线和法线,已知线段的长度为（其中

）,试推导出点的坐标表达式.

七、（本题满分8分）

设,计算.

八、（本题满分8分）

设,且,证明.

数学二试题答案

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（1）

【答案】

【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,

.

【相关知识点】复合函数求导法则：

的导数为.

（2）

【答案】

【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,

特征根为,故对应齐次方程的通解为.

设非齐次方程的特解,则,,代入微分方程,得

比较系数得故.所以通解为

.

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：

设是二阶线性非齐次方程

的一个特解.是与之对应的齐次方程

的通解,则是非齐次方程的通解.

2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：

对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：

即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；

分三种情况：

（1）两个不相等的实数根,则通解为

（2）两个相等的实数根,则通解为

（3）一对共轭复根,则通解为其中为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：

如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如

的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为

其中与是次多项式,,而按（或）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.

（3）

【解析】切线的斜率为

当时,.故所求切线方程为.化简得.

【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：

如果,则.

（4）

【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令

则

又,

即,

所以.

由夹逼准则,得.即

（5）

【解析】函数的定义域为全体实数,且

所以曲线只有一条水平渐近线.

【相关知识点】铅直渐近线：

如函数在其间断点处有,则

是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：

当（为常数）,则为函数的水平渐近线.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（D）

【解析】方法一：

反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.

设函数无间断点,因为是连续函数,则必无间断点,这与有间断点矛盾,故应选择（D）.

方法二：

排除法,举出反例排除.

设

则都处处连续,排除（A）,（B）,（C）.故应选择（D）.

（C）

利用定积分的求面积公式有

应选择（C）.

画出曲线的草图,所求面积为图中两面积之和,即

故应选（C）.

【解析】因为对任意,当时,,则函数,即

故是单调增加的.应选择（D）.

对于（A）（B）（C）可令,则对任意,当时,都有,

但,

在其定义域内单调减少.

故排除（A）（B）（C）.

（B）

【解析】由可知在区间上为严格的单调递增函数,故

由微分中值定理,.所以

应选择（B）.

（A）

【解析】函数在处可导的充分必要条件是与存在且相等.

由于,而可导,所以在处可导等价于在可导.

令,则

于是要使在处可导,当且仅当,即.故选择（A）.

【解析】利用等价无穷小计算,即当时,.

原式.

【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.

方法一：

将方程两边对求导,得

将代入并化简,得.

两边再对求导,得

将代入并化简得

方程两边先取对数再对求导.

方程两边取对数得,

求导得,

因为,所以.

以下同方法一.

【解析】首先应求出的表达式.由

令得.又

则.解得.因此

【解析】函数在处的导函数连续的充分必要条件是与存在且必与相等.

当时,,由于

故在处连续.

【解析】由弧微分公式得

所以

（6）

【解析】设质点的运动速度为,由题设,阻力为,按牛顿第二定律有

其中质量,即.

这是简单变量可分离的微分方程,解之得.

另有初始条件,得.

当此质点的速度为时,有,得.

到此时刻该质点所经过的路程为

【解析】对函数两边求导并令,得

解得驻点.

由于

所以为函数的极大值点,为函数的极小值点,且

所以为函数最大值,为函数的最小值.

【相关知识点】积分上限函数的求导公式：

【解析】把和代入所给的一阶线性微分方程,得

解得.

线性方程被确定为,即

这是一阶线性非齐次微分方程,通解为

再由得,即.

故所求的特解为.

【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:

其中为常数.

【解析】要求点的坐标,也就是说,要用表示出.

由,有

①

又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知

②

把②式,即代入①消去得到

③

由,知曲线是向上凹的,容易看出,所以③可化为,

且,

于是得

这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.

由于,

因而由分部积分法和,有

对于二重积分,可以通过变换积分次序来求解.

其中

于是

【解析】由于,所以必有,且

证法一：

用函数单调性证明不等式.

令,

则.

由于,所以函数单调增加,

在由负变正,所以是的极小值点也是最小值点,

即.

证法二：

用泰勒公式.

因为,所以.