学年河北省衡水中学高二下学期期末考试数学理 试题 Word版 含答案Word文件下载.docx
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【解析】，所以
当时，
，的最大值为，选A.
点睛：
已知函数的图象求解析式
（1）.
（2）由函数的周期求
（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求.
7．设，是不同的直线，，，是不同的平面，有以下四个命题
①；
②；
③；
④.其中正确的命题是（）
A.①④B.①③C.②③D.②④
【解析】①利用平面与平面平行的性质定理可知：
，，则，故①正确；
②，，则与可能平行，也可能相交，故②错误；
③，且，因为，所以，所以，故③正确；
④，或，故④错误．
综上所述，真命题是：
①③．故选．
8．设，且，，则等于（）
A．B．C．D．或
，，,两式平方相加得，
【考点】三角函数化简求值
点评：
求角的大小通常先求角的某一三角函数值，结合角的范围求其值
9．已知为的导函数，若，且，则的最小值为（）
,所以
，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以则的最小值为.
【考点】1.导数运算；
2.定积分运算；
3.基本不等式.
【名师点睛】本题考查导数运算、积分运算及基本不等式的应用，属中档题；
导数与基本不等式是高考的重点与难点，本题将两者结全在一起，并与积分运算交汇，考查学生运算能力的同时，体现了学生综合应用数学知识的能力.
10．已知函数是周期为的函数，若时，，则（）
【解析】，，选A.
利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
11．若圆（）上仅有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（）
【解析】圆心到直线距离为，所以要有个点到直线的距离为，需，选B.
与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
12．已知函数，，实数，满足，若
，，使得成立，则的最大值为（）
A．4B．C．D．3
【答案】D
因，则时，；
当时，．所以，，令，设，作函数的图像如图所示，由得或，的最大值为.故应选D.
【考点】导数的知识与函数的图象等知识的综合运用.
【易错点晴】本题是以函数为背景,设置了一道考查函数的图像和基本性质的综合性问题.解答时充分借助题设中条件,合理挖掘题设条件中蕴含的有效信息:
，使得成立.本题解答的另一个特色就是数形结合思想的运用和转化化归的数学思想的运用.求解时是先运用导数求出了函数的最大值.然后通过解方程（）求出或,最终求出的最大值是.本题的求解体现了函数方程思想、转化化归思想、数形结合思想等许多数学思想和方法具体应用.
二、填空题
13．已知数列满足，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】∵数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，
∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2×
2+2×
1+33
上式对于n=1时也成立．
∴.
∴，是一个对勾函数形式的表达式，减，增，故得到在附近有最小值，取整，代入得到最小值为。
首先考查了数列通项的求法，累加法；
再就是考查了数列单调性的应用。
数列单调性的证明有以下方法：
通项的表达式本身具有单调性，就像这个题一样；
前一项减后一项和0比较；
构造函数，研究函数的单调性。
14．某企业三月中旬生产，、、三种产品共件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作如下的统计表格：
产品类别
产品数量（件）
样本容量（件）
由于不小心，表格中、产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得产品的样本容量比产品的样本容量多，根据以上信息，可得的产品数量是__________件．
【答案】800
【解析】抽样比为130∶1300＝1∶10，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[（3000－1300）－100]×
＝800（件）．
【考点】分层抽样.
15．在中，，，面积是，则等于__________．
【解析】
所以
因此
16．用表示，中的最小值，已知函数，，设函数（），若有个零点，则实数的取值范围是__________．
【解析】由题意得有极值，所以有解，因为有个零点，
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
三、解答题
17．已知函数
（1）求证：
；
（2）若方程有解，求的取值范围.
（1）见解析；
（2）
（1）根据绝对值三角不等式得证
（2）先根据基本不等式求最小值，再解绝对值不等式得的取值范围.
试题解析：
（1）证明：
.
（2）解：
因为，
所以要使方程有解，
则，
所以或或
解得或，
所以的取值范围为.
含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
18．以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:
点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）设向左平移个单位长度后得到,到的交点为,,求的长.
（1），；
（1）根据将曲线直角坐标方程化为极坐标方程，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）先根据平移得的方程，再根据化为极坐标方程，联立方程组可得极径，由极径之差绝对值可得的长.
（1）的直角坐标为，的直角坐标方程为.
因为在上，所以，
所以的直角坐标方程为.
：
化为极坐标方程为.
（2）由已知得的方程为，
所以的极坐标方程为（），
代入曲线的极坐标方程或，所以.
19．已知向量，，.
（1）若，且，求的值；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若函数在上有零点，求的取值范围.
（1）；
（1）由向量平行得正切值，再利用弦化切得的值；
（2）先根据向量数量积化简函数，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求值域
（1）因为，，
所以.
（2）因为
，所以.
因为，所以，所以.
令，所以的取值范围为.
20．已知，，分别是的内角，，所对的边，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求边的长.
（Ⅰ）由三角形内角和定理，得代入已知式，整理可得，从而可求角；
（Ⅱ）先求，再由正弦定理可求边的值．
（Ⅰ）由题意得
2分
4分
7分
（Ⅱ）8分
9分
11分
又由正弦定理得：
13分
所以15分
【考点】1．三角变换；
2．正弦定理．
21．已知函数（）
（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；
（2）若在内存在极值，求的取值范围；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
（2）；
（3）
（1）由导数几何意义得切线斜率，再根据斜率公式得的值；
（2）转化为导函数在内变号，由二次函数图像可列满足题意条件，解不等式可得的取值范围；
（3）利用参变分离法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，可得的取值范围
（1），.
因为在处的切线过，所以.
（2）在内有解且在内有正有负.
令.
由，得在内单调递减，
（3）因为时恒成立，所以.
令，则.
令，由，得在内单调递减，又，
所以时，即，单调递增，时，
即，单调递减.所以在内单调递增，
在内单调递减，所以.所以.
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
22．已知函数（其中是自然对数的底数），，.
（1）记函数，且，求的单调增区间；
（2）若对任意，，，均有成立，求实数的取值范围.
（1）求单调区间的方法是求出的解，确定（或）的取值区间，即函数的单调区间，此可用列表方法得出（同时可得出极值）；
（2）本小题不等式或有绝对值符号，有两个参数，由于函数是增函数，因此设，则有，原问题等价于恒成立，
分两个问题，恒成立和恒成立，前面转化为，可以考虑函数在上是单调递增的，后面一个转化为，可以考虑函数在上是单调递增的．
（1），，
得或，
列表如下：
（，）
极大值
极小值
的单调增区间为：
，，减区间为；
（2）设，是单调增函数，，
①由得：
，
即函数在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立；
令，，
时，；
时，；
②由得：
函数在上单调递减，当时，，
综上所述，实数的取值范围为．
【考点】导数与函数的单调性，不等式恒成立问题．
【名师点睛】1．用导数研究函数的单调性：
（1）求函数f（x）单调区间的方法是，通过解不等式f′（x）>
0（或f′（x）<
0）直接得到单调递增（或递减）区间．
（2）导数法证明函数f（x）在（a，b）内的单调性的步骤：
①求f′（x）．
②确认f′（x）在（a，b）内的符号．
③得出结论：
f′（x）>
0时为增函数；
f′（
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