高等数学上册第六版课后习题详细图文答案第二章Word文件下载.docx

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6下列各题中均假定f（x0）存在按照导数定义观察下列极限指出A表示什么

（1）

（2）其中f（0）0且f（0）存在

解

（3）

f（x0）[f（x0）]2f（x0）

7求下列函数的导数

（1）yx4

（2）

（3）yx16

（4）

（5）

（6）

（7）

解

（1）y（x4）4x414x3

（3）y（x16）16x16116x06

（7）

8已知物体的运动规律为st3（m）求这物体在t2秒（s）时的速度

解v（s）3t2v|t212（米/秒）

9如果f（x）为偶函数且f（0）存在证明f（0）0

证明当f（x）为偶函数时f（x）f（x）所以

从而有2f（0）0即f（0）0

10求曲线ysinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x

解因为ycosx所以斜率分别为

11求曲线ycosx上点处的切线方程和法线方程式

解ysinx

故在点处切线方程为

法线方程为

12求曲线yex在点（01）处的切线方程

解yexy|x01故在（01）处的切线方程为

y11（x0）即yx1

13在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

解y2x割线斜率为

令2x4得x2

因此抛物线yx2上点（24）处的切线平行于这条割线

14讨论下列函数在x0处的连续性与可导性

（1）y|sinx|

解

（1）因为

y（0）0

所以函数在x0处连续

又因为

而y（0）y（0）所以函数在x0处不可导

解因为又y（0）0所以函数在x0处连续

所以函数在点x0处可导且y（0）0

15设函数为了使函数f（x）在x1处连续且可导ab应取什么值？

解因为

f

（1）ab

所以要使函数在x1处连续必须ab1

又因为当ab1时

所以要使函数在x1处可导必须a2此时b1

16已知求f（0）及f（0）又f（0）是否存在？

f（0）

而f（0）f（0）所以f（0）不存在

17已知f（x）求f（x）

解当x<

0时f（x）sinxf（x）cosx

当x>

0时f（x）xf（x）1

因为f（0）

f（0）所以f（0）1从而

f（x）

18证明双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2

解由xya2得

设（x0y0）为曲线上任一点则过该点的切线方程为

令y0并注意x0y0a2解得为切线在x轴上的距

令x0并注意x0y0a2解得为切线在y轴上的距

此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为

习题22

1推导余切函数及余割函数的导数公式

（cotx）csc2x（cscx）cscxcotx

2求下列函数的导数

（1）

（2）y5x32x3ex

（3）y2tanxsecx1

（4）ysinxcosx

（5）yx2lnx

（6）y3excosx

（8）

（9）yx2lnxcosx

（10）

解

（1）

（2）y（5x32x3ex）15x22xln23ex

（3）y（2tanxsecx1）2sec2xsecxtanxsecx（2secxtanx）

（4）y（sinxcosx）（sinx）cosxsinx（cosx）

cosxcosxsinx（sinx）cos2x

（5）y（x2lnx）2xlnxx2x（2lnx1）

（6）y（3excosx）3excosx3ex（sinx）3ex（cosxsinx）

（9）y（x2lnxcosx）2xlnxcosxx2cosxx2lnx（sinx）

2xlnxcosxxcosxx2lnxsinx

3求下列函数在给定点处的导数

（1）ysinxcosx求和

（2）求

（3）求f（0）和f

（2）

解

（1）ycosxsinx

（3）

4以初速v0竖直上抛的物体其上升高度s与时间t的关系是求

（1）该物体的速度v（t）

（2）该物体达到最高点的时刻

解

（1）v（t）s（t）v0gt

（2）令v（t）0即v0gt0得这就是物体达到最高点的时刻

5求曲线y2sinxx2上横坐标为x0的点处的切线方程和法线方程

解因为y2cosx2xy|x02又当x0时y0所以所求的切线方程为

y2x

所求的法线方程为

即x2y0

6求下列函数的导数

（1）y（2x5）4

（2）ycos（43x）

（3）

（4）yln（1x2）

（5）ysin2x

（7）ytan（x2）

（8）yarctan（ex）

（9）y（arcsinx）2

（10）ylncosx

解

（1）y4（2x5）41（2x5）4（2x5）328（2x5）3

（2）ysin（43x）（43x）sin（43x）（3）3sin（43x）

（5）y2sinx（sinx）2sinxcosxsin2x

（7）ysec2（x2）（x2）2xsec2（x2）

（8）

（9）y

（10）

（1）yarcsin（12x）

（2）

（4）

（9）yln（secxtanx）

（10）yln（cscxcotx）

解

（1）

（5）

（6）

（9）

8求下列函数的导数

（5）ysinnxcosnx

（8）y=ln[ln（lnx）]

（9）

（5）ynsinn1x（sinx）cosnxsinnx（sinnx）（nx）

nsinn1xcosxcosnxsinnx（sinnx）n

nsinn1x（cosxcosnxsinxsinnx）nsinn1xcos（n1）x

9.设函数f（x）和g（x）可导且f2（x）g2（x）0试求函数的导数

10设f（x）可导求下列函数y的导数

（1）yf（x2）

（2）yf（sin2x）f（cos2x）

解

（1）yf（x2）（x2）f（x2）2x2xf（x2）

（2）yf（sin2x）（sin2x）f（cos2x）（cos2x）

f（sin2x）2sinxcosxf（cos2x）2cosx（sinx）

sin2x[f（sin2x）f（cos2x）]

11求下列函数的导数

（1）ych（shx）

（2）yshxechx

（3）yth（lnx）

（4）ysh3xch2x

（5）yth（1x2）

（6）yarch（x21）

（7）yarch（e2x）

（8）yarctan（thx）

解

（1）ysh（shx）（shx）sh（shx）chx

（2）ychxechxshxechxshxechx（chxsh2x）

（4）y3sh2xchx2chxshxshxchx（3shx2）

12求下列函数的导数

（1）yex（x22x3）

（2）ysin2xsin（x2）

解

（1）yex（x22x3）ex（2x2）

ex（x24x5）

（2）y2sinxcosxsin（x2）sin2xcos（x2）2x

sin2xsin（x2）2xsin2xcos（x2）

习题23

1求函数的二阶导数

（1）y2x2lnx

（2）ye2x1

（3）yxcosx

（4）yetsint

（6）yln（1x2）

（7）ytanx

（9）y（1x2）arctanx

（11）

（12）