一模分类汇编之圆锥曲线文教师版Word格式文档下载.docx

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由韦达定理得,

因为与斜率相反且过原点,

设,,

则

所以为定值.

2.（2017-2018东城一模文19）已知椭圆的离心率为,长轴长为.

（Ⅱ）点是以长轴为直径的圆上一点,圆在点处的切线交直线于点,求证:

过点且垂直于直线的直线过椭圆的右焦点.

（Ⅰ）由题可知,,,,解得,

故椭圆的方程为

（Ⅱ）以为圆心,长轴长为直径的圆方程为

设点,,椭圆的右焦点为,

则,由题意可知

且,即即

因为,所以

所以,所以过点且垂直于的直线过椭圆的右焦点

3.（2017-2018房山一模文19）已知椭圆:

过点,离心率.

（Ⅱ）过点作斜率为的直线,与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线交轴于点,求证:

.

（Ⅰ）根据题意解得:

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设直线的方程为

由得

由得且

设,线段中点

那么,

设,根据题意

所以由,得

所以

4.（2017-2018丰台一模文19）已知椭圆:

的一个焦点为,点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程与离心率;

（Ⅱ）设椭圆上不与点重合的两点,关于原点对称,直线,分别交轴于,两点.求证:

以为直径的圆被轴截得的弦长是定值.

（Ⅰ）依题意,.

点在椭圆上．所以

离心率

（Ⅱ）因为,两点关于原点对称

所以可设,,

直线:

当时,,所以

设以为直径的圆与轴交于点和,（）

所以,,

因为点在以为直径的圆上

所以,即

因为,即

所以,所以

所以,．所以

所以以为直径的圆被轴截得的弦长是定值

5.（2017-2018海淀一模文19）已知椭圆的两个焦点为离心率为.

（Ⅱ）设点是椭圆的右顶点,过点的直线与椭圆交于两点,直线与直线分别交于两点.求证:

点在以为直径的圆上.

（Ⅰ）设椭圆方程为

由题可得解得.

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）（i）当斜率不存在时,则

直线方程为,令则,即,

同理可得.

所以,

所以点在以为直径的圆上.

（ii）当直线斜率存在时,设方程为,

由题意知,设、.

由可得.

显然,,

直线方程为,得,

同理,.

所以.

因为

所以,即点在以为直径的圆上.

综上,点在以为直径的圆上.

6.（2017-2018门头沟一模文19）已知椭圆,三点,,中恰有二点在椭圆上,且离心率为.

（Ⅱ）设为椭圆上任一点,为椭圆的左右顶点,为中点,求证:

直线与直线它们的斜率之积为定值;

（Ⅲ）若椭圆的右焦点为,过的直线与椭圆交于两点,求证:

直线与直线的斜率之和为定值.

（Ⅰ）由题意可知若在椭圆上,则一定在椭圆上,故和在椭圆上,则由可得,所以

则,解得,则

则椭圆的方程为

（Ⅱ）由题可知:

直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为

与椭圆方程联立得:

则,

则直线的斜率为,又因为直线的斜率

则,即证直线与直线的斜率之积为定值

（Ⅲ）由题可知:

直线的斜率一定存在

当直线的斜率为零时,

当直线的斜率不为零时,设,

综上,直线与直线的斜率之和为

7.（2017-2018石景山一模文19）已知椭圆的离心率,焦距为.

（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点,动点满足,连接,交椭圆E于点.证明:

为定值（为坐标原点）.

（Ⅰ）解:

因为,所以

所以椭圆方程为

（Ⅱ）方法一:

证明:

设

则＝,＝

直线CM:

即

代入椭圆方程

得

所以＝

即为定值

方法二:

由可得,即

∵点在上

∴

∴为定值

方法三:

因为直线不在轴上,故可设

∴,即

在直线中令,则,即

8.（2017-2018西城一模文19）已知椭圆的离心率为,以椭圆的任意三顶点为顶点的三角形的面积是.

（Ⅱ）设是椭圆的右顶点,点在轴上.若椭圆上存在点,使得,求点横坐标的取值范围.

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为.依题意,得

,且

解得,

（Ⅱ）“椭圆上存在点,使得”等价于“存在不是椭圆

左、右顶点的点,使得成立”

依题意,.设,,则,

且,

即

将代入上式,

因为,

即.

所以点横坐标的取值范围是.