最新高等数学上册期末考试试题含答案WOWord文档下载推荐.docx

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（18）

b）y=lnx，；

．

c）；

=4.

4．求下列旋转体的体积：

（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；

求两曲线交点得（0，0），（1，1）

．（14）

（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；

见图14，

（2）星形线绕x轴旋转；

见图15，该曲线的参数方程是：

由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

（15）

5．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：

;

原式=

验证：

所以，结论成立.

原式=.

所以，结论正确.

所以，原式=

故结论成立.

.

所以，原式成立.

（n>

1，且为正整数）.

故

6．一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x,y）处的切线斜率为2x－2，求该曲线方程.

依题意知：

两边积分，有

又x=1时，y=0代入上式得c=1，故所求曲线方程为.

7．求由方程所确定的隐函数的导数.

方程两边对x求导，有

又

故.

8．某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状（如12题图所示），设截面积为am2，问底宽x为多少时，才能使所用建造材料最省?

由题设知

得

12题图

截面的周长

令得唯一驻点，即为最小值点.

即当时，建造材料最省.

9．求下列函数的最大值、最小值：

；

y的定义域为，，得唯一驻点x=－3

且当时，，y单调递减；

当时，，y单调递增,

因此x=－3为y的最小值点，最小值为f（－3）=27.

又，故f（x）无最大值.

，在上得唯一驻点，

又,

故函数在[－5，1]上的最大值为，最小值为.

函数在（－1，3）中仅有两个驻点x=0及x=2，

而y（－1）=－5，y（0）=2，y

（2）=－14，y（3）=11,

故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.

10．设二阶可导，求.

11．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.

⑴；

⑵；

⑶；

⑷

⑴∵不存在,（因，为有界函数）

又,

故不能使用洛必达法则.

⑶∵不存在,

而

⑷∵

利用洛必达法则无法求得其极限.

而.

故答案选

（2）.

12．设，且,在[a，b]内存在，证明：

在（a，b）内至少有一点，使.

证明：

在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使.

13．曲线弧y=sinx（0<

π）上哪一点处的曲率半径最小？

求出该点的曲率半径.

显然R最小就是k最大，

令，得为唯一驻点.

在内，，在内，.

所以为k的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为

14．求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.

15．设一路灯高4m，一人高m，若人以56m·

min-1的等速沿直线离开灯柱，证明：

人影的长度以常速增长.

如图，设在t时刻，人影的长度为ym.

则

化简得（m·

min－1）.

即人影的长度的增长率为常值.

16．求下列极限：

（7）若，求a和b.

由无穷大与无穷小的关系知，.

17．求下列函数的微分：

⑷；

⑸；

⑹.

⑵；

⑷

⑹；

18．在括号内填入适当的函数，使等式成立：

⑵;

⑷;

⑸;

⑹；

⑺;

⑻.

⑴

⑵

⑶

⑸

⑹

⑺

⑻

19．求下列函数在指定点的高阶导数：

⑴求；

⑵求，；

⑶求，.

⑴

故.

故，.

故，

20．求下列参数方程所确定的函数的导数：

⑴（a,b为常数）

21．设可导，求下列函数y的导数：

22．如果为偶函数，且存在，证明：

故

23．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:

（1）

因为所以此函数在处连续.

又

，故此函数在处不可导.

（2）

因为故函数在处连续.

故函数在处可导.

（3）

因为

故函数在x=1处连续.

，故函数在x=1处不可导.

24．讨论函数在点处的连续性和可导性.

故函数在处连续.

又,故函数在处不可导.

25．怎样选取a,b的值，使f（x）在（－∞,+∞）上连续？

（1）在上显然连续，而

且,

∴当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.

（2）在内显然连续.而

∴当，即时，在处连续，因而在上连续.

26．下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：

是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；

x=2是无穷间断点.

当时，.

为可去间断点，分别补充定义f（0）=1,，可使函数在x=0,及处连续.（）;

为无穷间断点

（3）∵当时，呈振荡无极限，

∴x=0是函数的振荡间断点.（第二类间断点）.

（4）

∴x=1是函数的跳跃间断点.（第一类间断点.）

27．利用或等价无穷小量求下列极限：

（1）因为当时，

（4）因为当时，,所以

（5）因为当时，所以

（7）因为当时，,所以

（8）因为当时，所以

（9）因为当时，,所以

（10）因为当时，，所以

（11）因为当时，所以

（12）因为当时，所以

（13）因为

而当时，

又当x→0进，所以

（14）因为当时，

28．当时，无穷小量与是否同阶？

是否等价？

∴当时，是与同阶的无穷小.

∴当时，是与等价的无穷小.

29．通过恒等变形求下列极限：

而而

（14）令则当时，.

所以（利用（13）题的结果）.

（16）令，则

而所以

30．计算正弦曲线y=sinx上点处的曲率.

当时，，

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无