321一元二次不等式的解法 教案北师大版必修五Word格式.docx

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2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式（重点、难点）.

一元二次不等式的有关概念

【问题导思】　

　对于两个不等式2x2＋11x－6>

0和10x2＋9x－2≤0这两个不等式有哪些共同特点？

x＝是它们的一个公共解吗？

【提示】　共同特点：

（1）含有一个未知数x.

（2）未知数x的最高次数为2.x＝不是2x2＋11x－6>

0的解，是10x2＋9x－2≤0的解．

一元二次

不等式

形如ax2＋bx＋c＞0（≥0）或ax2＋bx＋c＜0（≤0）的不等式（其中a≠0），叫作一元二次不等式.

一元二次不

等式的解

使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.

等式的解集

一元二次不等式的所有解组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.

一元二次函数、一元二次方程、一元

二次不等式之间的关系

图3－2－1

　观察二次函数y＝x2－2x－3的图像，当x取何值时y＝0？

y>

0？

y<

0?

【提示】　当x＝－1或x＝3时，y＝0；

当x>

3或x<

－1时，y>

0；

当－1<

x<

3时，y<

0.

判别式Δ＝b2－4ac

Δ>

Δ＝0

Δ<

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a>

0）的图像

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

0）的根

有两个不等的实根

x1、2＝

（x1<

x2）

有两相等实根

x1＝x2＝－

没有实根

一元二次不等式ax2＋bx＋c>

0的解集

a>

{x|x<

x1或x>

x2}

{x|x≠－}

R

a<

{x|x1<

∅

（对应学生用书第51页）

解一元二次不等式

　解下列不等式：

（1）3x2＋5x－2≤0；

（2）－x2＋2x－3＞0；

（3）2x＞2－3x－3x2.

【思路探究】　解一元二次不等式应先化为标准形式，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图像写出解集．

【自主解答】　

（1）方程3x2＋5x－2＝0的两解是

x1＝－2，x2＝.

函数y＝3x2＋5x－2的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点（－2，0）和（，0）（如图所示）．

观察图像可知，不等式的解集为

{x|－2≤x≤}．

（2）∵－x2＋2x－3＞0，∴x2－2x＋3＜0.

∵Δ＝4－12＝－8＜0，

∴方程x2－2x＋3＝0无实数根．

∴函数y＝x2－2x＋3的图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点（如图），

∴原不等式的解集为空集．

（3）原不等式移项整理，得3x2＋5x－2＞0.

∵Δ＝49＞0，∴方程3x2＋5x－2＝0的两解为x1＝－2，x2＝.

然后，利用

（1）中的函数图像可得不等式的解集为{x|x＜－2，或x＞}．

1．解一元二次不等式时，当二次项系数为负时，通常化为二次项系数为正的情形．

2．在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像，这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会．

解下列不等式：

（1）x2－5x＞14；

（2）－7x2＋7x＞6.

【解】　

（1）方程x2－5x－14＝0的两解是x1＝－2，x2＝7，

函数y＝x2－5x－14的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点（－2，0）和（7，0），如图所示，由图像知x2－5x＞14的解集为：

{x|x＜－2或x＞7}．

（2）原不等式可化为－7x2＋7x－6＞0，

即7x2－7x＋6＜0.

∵方程7x2－7x＋6＝0的判别式，

Δ＝（－7）2－7×

4×

6＜0，

∴函数y＝7x2－7x＋6的图像与x轴无交点，如图所示，

由图知原不等式的解集为∅.

含参数的一元二次不等式的解法

　解关于x的不等式ax2＋2x＋1<

【思路探究】　对二次项系数a分a>

0，a＝0，a<

0三种情况讨论，并且对a>

0这种情况还需分Δ>

0，Δ≤0讨论．

【自主解答】　

（1）当a＝1时，（x＋1）2<

0，解集为∅；

（2）当a＝0时，不等式的解集为{x|x<

－}；

（3）当a>

0时，Δ＝4－4a，

①Δ>

0即0<

1时，

不等式的解集为{x|<

}；

②Δ≤0即a≥1时，不等式的解集为∅.

（4）当a<

0时，Δ＝4－4a>

0，

不等式的解集为{x|x<

或x>

}．

1．熟练掌握一元二次不等式的解法是解决不等式问题的基础，所以应当能够熟练记住形如ax2＋bx＋c>

0（<

0）（a>

0）的不等式在各种情况下解集的形式．

2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：

①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．

解关于x的不等式x2－ax－2a2<

【解】　原不等式变形为（x－2a）（x＋a）<

（1）若a>

0，则－a<

2a，此时不等式的解集为

{x|－a<

2a}；

（2）若a<

0，则2a<

－a，此时不等式的解集为

{x|2a<

－a}；

（3）若a＝0，则原不等式即为x2<

0，此时解集为∅.

三个二次关系的应用

　已知ax2＋2x＋c>

0的解集为{x|－<

}，试求a，c的值，并解不等式－cx2＋2x－a>

【思路探究】　先根据二次不等式与二次方程的关系求出a，c的值，再求解对应的一元二次不等式．

【自主解答】　由ax2＋2x＋c>

}，

知a<

0且方程ax2＋2x＋c＝0的两根为－，，

∴∴a＝－12，c＝2.

此时－cx2＋2x－a>

0可化为x2－x－6<

解得－2<

3.

∴所求不等式的解集为{x|－2<

3}．

1．一元二次不等式的解集的区间端点，是一元二次不等式对应的二次函数的零点，是一元二次方程的根．借助三个二次的关系可实现问题的相互转化．

2．这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，巧妙运用根与系数的关系，将所解不等式的“多个参数”化为“一个参数”，从而求解．

已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，－1，求不等式ax2＋bx＋c＞0的解集．

【解】　由已知得2，－1为方程ax2＋bx＋c＝0的两根．

∴∴

由ax2＋bx＋c＞0可得ax2－ax－2a＞0.

当a＞0时，x2－x－2＞0，解得x＞2，或x＜－1.

当a＜0时，x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2.

因此，当a＞0时，不等式的解集为（－∞，－1）∪（2，＋∞），

当a＜0时，不等式的解集为（－1，2）．

（对应学生用书第52页）

　　　解不等式x2>

x.

【错解】　由x2>

x两边同时约去x，得x>

1，所以原不等式的解集为{x|x>

1}．

【错因分析】　本题因不等式两边同时约去x时，未考虑x的取值（正负性），机械应用不等式性质而出现失解现象，因此导致求解错误．

【防范措施】　1.不等式两边同除以数（式）时一定考虑正负号情况．

2．解一元二次不等式时，应将一元二次不等式化成标准形式，再由方程的根得出解集．

【正解】　法一　原不等式可化为x2－x>

即x（x－1）>

∵方程x（x－1）＝0的两根为x1＝0，x2＝1，

∴不等式x2－x>

0的解集为{x|x<

0，或x>

法二　原不等式可化为x（x－1）>

即或

解得x>

1或x<

∴原不等式的解集为{x|x<

1．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集，就是使函数图像在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合，而方程的根就是不等式解集区间的端点．

2．解含参数不等式时，一般需对参数进行讨论，参数讨论有三个方面：

①二次项系数；

②“Δ的符号”；

③根的大小，但未必在这三个方面都进行讨论，是否讨论要根据运算需要而定．

（对应学生用书第53页）

1．不等式x2＞0；

②－x2－x＜5；

③ax2＜2（a是常数）；

④x2＋2x－y2＜0.其中是一元二次不等式的个数是（　　）

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

【解析】　由一元二次不等式的定义知①、②是．

【答案】　C

2．不等式2x2－x－1>

0的解集是（　　）

A．（－，1）B．（1，＋∞）

C．（－∞，1）∪（2，＋∞）D．（－∞，－）∪（1，＋∞）

【解析】　∵2x2－x－1＝（2x＋1）（x－1），∴由2x2－x－1＞0得（2x＋1）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－，∴不等式的解集为∪（1，＋∞）．

【答案】　D

3．若关于x的不等式mx2＋8mx＋21＜0的解集为{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值为________．

【解析】　由题意知，x1＝－7，x2＝－1是方程mx2＋8mx＋21＝0的两根，

则（－7）×

（－1）＝，∴m＝3.

【答案】　3

4．不等式（a＋1）x2＋ax＋a>

0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

【解】　当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式化为－x－1>

0，得x<

－1，不合题意；

当a＋1≠0时，由题意，必须⇒⇒a>

故实数a的取值范围为（0，＋∞）．

（对应学生用书第107页）

一、选择题

1．不等式5－x2＞4x的解集为（　　）

A．（－5，1）

B．（－1，5）

C．（－∞，－5）∪（1，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（5，＋∞）

【解析】　不等式可化为x2＋4x－5＜0，

y＝x2＋4x－5的开口方向向上，

又x2＋4x－5＝0的两根为－5，1.

由图像知原不等式的解集为（－5，1）．

【答案】　A

2．设集合S＝{x||x|<

5}，T＝{x|x2＋4x－21<

0}，则S∩T＝（　　）

A．{x|－7<

－5}　　　B．{x|3<

5}

C．{x|－5<

3}D．{x|－7<

【解析】　S＝{x|－5<

5}，T＝{x|－7<

3}，

∴S∩T＝{x|－5<

3．（2013·

西安高二检测）若全集U＝R，集合A＝