届宁夏银川一中高三年级上学期第四次月考检测数学理试题及答案Word格式.docx
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命题s：
直线a,b都不与直线l相交．
则下列命题中是真命题的为
A．B．C．D．
5．如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD
内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点
落在阴影区域内的概率是
6．函数的部分图象如图所示,则的值为
7．设,则有
8．已知函数,若不等式对任意的均成立,则m的取值不可能是
A．9B．8C．7D．6
9．已知函数,函数满足,若函数恰有2021个零点,则所有这些零点之和为
A．2018B．2019C．2020D．2021
10．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：
蜂巢的优美形状,是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢,是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的顶点称为“晶格点”,
重复的算作一个“晶格点”,已知第一行有1个六边形,第二行有
2个六边形,每行比上一行多一个六边形六边形均相同,设图
中前n行晶格点数满足,则
A．101B．123C．141D．150
11．已知函数是单调递增函数,则实数a的取值范围是
12．如图,正方体的棱长为1,线段上有
两个动点E,F,且,则下列结论中错误的个数是
（1）．
（2）若P为上的一点,则P到平面BEF的距离为．
（3）三棱锥的体积为定值．
（4）在空间与,,都相交的直线有无数条．
（5）过的中点与直线所成角为并且与平面BEF所成角为的直线有2条．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：
（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13．记为等比数列的前n项和,若,且成等差数列,则___．
14．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则角______．
15．已知矩形中,是CD边的中点．现以AE为折痕将折起,当三棱锥的体积最大时,该三棱锥外接球的表面积为______．
16．函数满足,当时,,
若有8个不同的实数解,则实数m的取值范围是______．
三、解答题：
共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分）
17．（12分）
如图所示,在四棱锥中,底面是
矩形,平面,M,N分别是AB,PC的中点,
．
（1）求证：
平面
（2）求证：
平面PCD．
18．（12分）
已知正项等比数列中,,且的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,数列的前n项和为,数列满足,为数列的前n项和,求.
19．（12分）
如图,扇形ABC是一块半径为2千米,圆心角为的风景区,
P点在弧BC上,现欲在风景区中规划三条商业街道,要求街道PQ
与AB垂直,街道PR与AC垂直,线段RQ表示第三条街道．
（1）如果P位于弧BC的中点,求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因,三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元,问：
这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
20．（12分）
如图,在三棱柱中,,
D为的中点,点C在平面
内的射影在线段BD上．
（1）求证：
平面CBD；
（2）若是正三角形,求二面角的余弦值．
21．（12分）
已知函数,其中a为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2,求a的值；
（2）若函数有两个极值点,求证：
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：
坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,直线l的方程是,曲线C的参数方程是
以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若是曲线C上一点,是直线l上一点,求的最大值．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m,正实数a,b,c满足,
求证：
数学（理）试题参考答案
只有一项符合题目要求（共12小题,每小题5分,共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
10.C【解析】,,
则,
所以数列是以7为首项,2为公差的等差数列,
当时,
所以．
故选：
C．
12.A【解析】解：
对于,在正方体中平面,又平面,故正确．
对于,,平面,平面,
平面,即平面BEF,
又正方体的棱长为1,
到平面BEF的距离为到的距离,
若P为上的一点,则P到平面BEF的距离为,故正确；
对于,,
设AC,BD交于点O,平面,,
故正确；
对于取AC中点O,延长,交于一点,
而在正方体中,与,AC,都相交的直线只有这一条．
故错误；
对于,因为平面,即平面BEF,
要与平面BEF所成角为,即为过的中点的直线与AC成,
由于过的中点与直线和直线AC所成角都为的直线有2条．故正确；
故答案为：
B．
根据题意,依次分析：
如图可知平面,,进而判断出正确；
根据,判断出平面,即平面BEF,计算出到平面BEF的距离,即可判断出项错误；
设AC,BD交于点O,平面,可分别求得和AO,则三棱锥的体积可得判断项正确；
再利用正方体中线线,线面的位置关系,即可判定和项正确．
本题考查直线与平面平行的判定,考查线面垂直,考查线面角、线线角,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题．
13.2714.15.16.
17.【答案】证明：
（1）如图,取CD的中点E,连接NE,ME．
M,N分别是CD,AB,PC的中点,
,
平面平面PDA,
平面PAD．
平面ABCD,．
底面ABCD是矩形,,
又,平面PAD,．
又,,
平面ENM,．
N是PC的中点,
又,平面PCD．
18.【答案】解：
设等比数列的公比为,
由题意,得
解得
所以
由得,
19.【答案】解：
由P位于弧BC的中点,在P位于的角平分线上,
则丨PQ丨丨PR丨丨PA丨,
丨AQ丨丨PA丨,
由,且丨AQ丨丨AR丨,
为等边三角形,
则丨RQ丨丨AQ丨,
三条街道的总长度丨PQ丨丨PR丨丨RQ丨；
设,,
则丨PQ丨丨AP丨,丨PR丨丨AP丨,
丨AQ丨丨AP丨,丨AR丨丨AP丨
由余弦定理可知：
丨RQ丨丨AQ丨丨AR丨丨AQ丨丨AR丨,
则丨RQ丨,
三条街道每年能产生的经济总效益W,丨PQ丨丨PR丨丨RQ丨
当时,W取最大值,最大值为
20.【答案】证明：
设点C在平面内的射影E,则,平面CBD,平面,
因平面,所以D.
在中,,,则,
故,故BD,
因，故B平面CBD．
以D为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，1，，，
由是正三角形可知，
，，，
平面CBD的一个法向量，面的法向量，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
21.【答案】解：
因为，
所以，
则，所以a的值为
，函数的定义域为，
若，即，则，此时的单调减区间为；
若，即，则的两根为，
此时的单调增区间为，，
单调减区间为
所以当时，函数有两个极值点，，且，．
因为
要证，只需证
构造函数，则，
在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，
由零点存在定理，可知在上唯一实根，且
则在上递减，上递增，所以的最小值为，
当时，，则，
所以恒成立．
所以，得证
22.【答案】解：
Ⅰ直线l的方程是，转换为极坐标方程为，
曲线C的参数方程是为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．
Ⅱ点是曲线C上一点，
所以：
，所以，
点是直线l上一点，
所以，所以，
，当时，最大值为．
23.【答案】解：
当时，由，得，此时无解；
当时，由，得，此时的解为；
当时，由，解得，此时的解为．
综上，不等式的解集为；
证明：
故的最小值为，．
等号当且仅当，即时成立．
，，
即．
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