全国通用版201X201x高中数学 第一章 常用逻辑用语 141 全称量词 142 存Word文件下载.docx

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（1）存在x0∈R，x≤0；

（2）有些三棱锥是正四面体．

答案　所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．

梳理　

（1）存在量词及特称命题的要命

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．

特称命题“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”可用符号简记为∃x0∈M，p（x0），读作“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”．

（3）特称命题的真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

（1）“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（×

）

（2）全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（√）

（3）全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．（×

类型一　判断命题的类型

例1　将下列命题用“∀”或“∃”表示．

（1）实数的平方是非负数；

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a＜1）至少存在一个负根；

（3）若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.

考点　量词与命题

题点　全称（特称）命题的符号表示

解　

（1）∀x∈R，x2≥0.

（2）∃x0＜0，ax＋2x0＋1＝0（a＜1）．

（3）若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.

反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．

（1）梯形的对角线相等；

（2）存在一个四边形有外接圆；

（3）二次函数都存在零点；

（4）过两条平行线有且只有一个平面．

题点　全称（存在）量词的识别

解　命题

（1）完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．

命题

（2）为特称命题．

命题（3）完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．

命题（4）是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．

类型二　判断命题的真假

例2　判断下列命题的真假．

（1）∀x∈R，x2－x＋1＞；

（2）∃α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ；

（3）存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

（4）每一条线段的长度都能用正有理数表示；

（5）存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立．

考点　特称（全称）命题的真假性判断

题点　特称（全称）命题真假的判断

解　

（1）真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋

＝2＋≥＞0，∴x2－x＋1＞恒成立．

（2）真命题，例如α＝，β＝，符合题意．

（3）真命题，函数f（x）＝0既是偶函数又是奇函数．

（4）假命题，如：

边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．

（5）假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．

反思与感悟　要判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）都成立；

如果在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定特称命题“∃x0∈M，p（x0）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可；

如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

跟踪训练2　判断下列命题的真假．

（1）有一些奇函数的图象过原点；

（2）∃x0∈R,2x＋x0＋1<

0；

（3）∀x∈R，sinx＋cosx≤.

解　

（1）该命题中含有“有一些”，是特称命题．如

y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

（2）该命题是特称命题．

∵2x＋x0＋1＝22＋≥>

0，

∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<

0.故该命题是假命题．

（3）该命题是全称命题．

∵sinx＋cosx＝sin≤恒成立，

∴对任意实数x，sinx＋cosx≤都成立，故该命题是真命题．

类型三　利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例3　已知下列命题p（x）为真命题，求x的取值范围．

（1）命题p（x）：

x＋1>

x；

（2）命题p（x）：

x2－5x＋6>

（3）命题p（x）：

sinx>

cosx.

考点　全称命题的真假性判断

题点　恒成立求参数的取值范围

解　

（1）∵x＋1>

x，∴1>

0（此式恒成立），∴x∈R.

（2）∵x2－5x＋6>

0，∴（x－2）（x－3）>

∴x>

3或x<

2.

（3）∵sinx>

cosx，∴2kπ＋<

x<

2kπ＋（k∈Z）．

反思与感悟　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练3　已知命题p：

“∃x0∈R，sinx0＜m”，命题q：

“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p，q均为真命题，求实数m的取值范围．

考点　简单逻辑联结词的综合应用

题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解　因为“∃x0∈R，sinx0＜m”是真命题，所以m＞－1.

又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，

所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.

又p，q均为真命题，

所以实数m的取值范围是（－1,2）.

1．下列命题中，是正确的全称命题的是（　　）

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0

B．菱形的两条对角线相等

C．∃x0，＝x0

D．对数函数在定义域上是单调函数

考点　全称量词与全称命题

题点　全称命题的识别

答案　D

2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是（　　）

A．存在一个α，使tan（90°

－α）＝tanα

B．存在实数x0，使sinx0＝

C．对一切α，sin（180°

－α）＝sinα

D．对任意α，β，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

考点　特称命题的真假性判断

题点　特称命题真假的判断

答案　A

3．命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为____________．

考点　存在量词与特称命题

题点　特称命题的符号表示

答案　∃x0＜0，（1＋x0）（1－9x0）＞0

4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．

（1）所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；

（2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

（3）一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；

（4）所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．

解　

（1）∀x∈R，x2＋x＋1＞0；

真命题．

（2）∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；

假命题．

（3）∃x0，y0∈Z,3x0－2y0＝10；

（4）∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；

利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧

（1）转化为恒成立问题：

含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．

（2）转化为方程或不等式有解问题：

含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．

一、选择题

1．下列说法正确的个数是（　　）

①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；

②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；

③命题“∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0”是特称命题．

A．0B．1C．2D．3

题点　特称（全称）命题的识别

答案　C

解析　只有②③正确．

2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（　　）

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使＞2

题点　特称命题的真假判断

答案　B

3．已知命题“∃x0∈R，使2x＋（a－1）x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,3）

C．（－3，＋∞）D．（－3,1）

题点　由特称命题真假性求参数的取值范围

解析　原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋>

由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝（a－1）2－4×

2×

<

0，则－2<

a－1<

2，则－1<

a<

3.故选B.

4．已知命题“∃x0∈R，x＋ax0－4a<

0”为假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．[－16,0]B．（－16,0）C．[－4,0]D．（－4,0）

解析　由题意可知“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，

∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.

5．下面命题是真命题的是（　　）

A．∀x∈R，x3≥x

B．∃x0∈R，x＋1＜2x0

C．∀xy＞0，x－y≥2

D．∃x0，y0∈R，sin（x0＋y0）＝sinx0－siny0

题点　全称（特称）命题的真假性判断

6．若“∀x∈，cosx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（　　）

A．－B．－C.D.

7．下列全称命题中真命题的个数为（　　）

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f（x）＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>

0.

A．1B．2C．3D．4

题点　全称命题的真假性判断

解析　①②③为真命题；

当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，

④为假命题．

二、填空题

8．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为_____