步步高必修5高中数学高届高级全书完整第二章 25 第1课时.docx

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步步高必修5高中数学高届高级全书完整第二章25第1课时

§2.5　等比数列的前n项和

第1课时　等比数列前n项和公式的推导及简单应用

学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.

知识点一　等比数列的前n项和公式

思考　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263,用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264,对这两个式子作怎样的运算能解出S64?

【参考答案】比较两式易知,两式相减能消去相同项,解出S64,即S64＝＝264－1.

梳理　等比数列的前n项和公式

已知量

首项a1,项数n与公比q

首项a1,末项an与公比q

公式

Sn＝

Sn＝

特别提醒：

在应用公式求和时,应注意到Sn＝的使用条件为q≠1,而当q＝1时应按常数列求和,即Sn＝na1.

知识点二　等比数列的前n项和公式的应用

思考　要求等比数列前8项的和：

（1）若已知其前三项,用哪个公式比较合适？

（2）若已知a1,a9,q的值.用哪个公式比较合适？

【参考答案】

（1）用Sn＝.

（2）用Sn＝.

梳理　一般地,使用等比数列求和公式时需注意

（1）一定不要忽略q＝1的情况；

（2）知道首项a1、公比q和项数n,可以用；知道首尾两项a1,an和q,可以用；

（3）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：

a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个.

1.在等比数列{an}中,a1＝b,公比为q,则前3项和为.（×）

2.等比数列{an}的公比q≠1,则前n项和Sn＝.（×）

3.首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn＝na.（√）

类型一　等比数列前n项和公式的应用

例1　求下列等比数列前8项的和：

（1）,,,…；

（2）a1＝27,a9＝,q<0.

考点　等比数列前n项和

题点　求等比数列的前n项和

解　

（1）因为a1＝,q＝,

所以S8＝＝.

（2）由a1＝27,a9＝,可得＝27·q8.

又由q<0,可得q＝－,

所以S8＝＝＝＝.

反思与感悟　求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q＝1是否成立.

跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20,a3＋a5＝40,则公比q＝________；前n项和Sn＝________.

考点　等比数列前n项和

题点　求等比数列的前n项和

【参考答案】2　2n＋1－2

【试题解析】设等比数列的公比为q,

∵a2＋a4＝20,a3＋a5＝40,

∴20q＝40,且a1q＋a1q3＝20,

解得q＝2,且a1＝2.

因此Sn＝＝2n＋1－2.

例2　在等比数列{an}中,a1＝2,S3＝6,求a3和q.

考点　等比数列前n项和

题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题

解　由题意,得若q＝1,

则S3＝3a1＝6,符合题意.

此时,q＝1,a3＝a1＝2.

若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,

得S3＝＝＝6,

解得q＝－2.

此时,a3＝a1q2＝2×（－2）2＝8.

综上所述,q＝1,a3＝2或q＝－2,a3＝8.

反思与感悟　

（1）应用等比数列的前n项和公式时,首先要对公比q＝1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.

（2）当q＝1时,等比数列是常数列,所以Sn＝na1；当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1,q与n时,用Sn＝比较方便；当已知a1,q与an时,用Sn＝比较方便.

跟踪训练2　在等比数列{an}中,S2＝30,S3＝155,求Sn.

考点　等比数列前n项和

题点　求等比数列的前n项和

解　方法一　由题意知

解得或

从而Sn＝＝（5n－1）

或Sn＝

＝,n∈N*.

方法二　若q＝1,则S3∶S2＝3∶2,

而事实上,S3∶S2＝31∶6,故q≠1.

所以

两式作比,得＝,

解得或

从而Sn＝＝（5n－1）

或Sn＝＝,n∈N*.

类型二　等比数列前n项和的实际应用

例3　小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：

购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.

考点　等比数列前n项和应用题

题点　等比数列前n项和的应用题

解　方法一　设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则

A2＝5000×（1＋0.008）2－x＝5000×1.0082－x,

A4＝A2（1＋0.008）2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x,

…

A12＝5000×1.00812－（1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1）x＝0,

解得x＝

＝≈880.8.

故小华每期付款金额约为880.8元.

方法二　设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则

A2＝x；

A4＝A2（1＋0.008）2＋x＝x（1＋1.0082）；

A6＝A4（1＋0.008）2＋x＝x（1＋1.0082＋1.0084）；

…

A12＝x（1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810）.

∵年底付清欠款,

∴A12＝5000×1.00812,

即5000×1.00812

＝x（1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810）,

∴x＝≈880.8.

故小华每期付款金额约为880.8元.

反思与感悟　解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S＝P（1＋r）n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.

跟踪训练3　一个热气球在第一分钟上升了25m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球上升的高度能超过125m吗？

考点　等比数列前n项和应用题

题点　等比数列前n项和的应用题

解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度,

由题意,得an＋1＝an,

因此,数列{an}是首项a1＝25,公比q＝的等比数列.

热气球在前n分钟内上升的总高度为

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝

＝＝125×<125.

故这个热气球上升的高度不可能超过125m.

1.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于（　　）

A.B.

C.D.

考点　等比数列前n项和

题点　求等比数列的前n项和

【参考答案】C

【试题解析】当x＝1时,Sn＝n；当x≠1时,Sn＝.

2.设等比数列{an}的公比q＝2,前n项和为Sn,则等于（　　）

A.2B.4C.D.

考点　等比数列前n项和

题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题

【参考答案】C

【试题解析】方法一　由等比数列的定义,S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2,得＝＋1＋q＋q2＝.

方法二　∵S4＝,a2＝a1q,∴＝＝.

3.等比数列{an}的各项都是正数,若a1＝81,a5＝16,则它的前5项的和是（　　）

A.179B.211C.243D.275

考点　等比数列前n项和

题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题

【参考答案】B

【试题解析】∵q4＝＝＝4,且q＞0,

∴q＝,∴S5＝＝＝211.

4.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为________.

考点　等比数列前n项和应用题

题点　等比数列前n项和的应用题

【参考答案】11a（1.15－1）

【试题解析】去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a,

∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a（1.15－1）.

1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量：

a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”.

2.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式,不可忽略q＝1的情况.

3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和.

一、选择题

1.设数列{（－1）n}的前n项和为Sn,则Sn等于（　　）

A.B.

C.D.

考点　等比数列前n项和

题点　求等比数列的前n项和

【参考答案】D

【试题解析】Sn＝＝.

2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1＝3,前3项和为21,则a3＋a4＋a5等于（　　）

A.33B.72C.84D.189

考点　等比数列前n项和

题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题

【参考答案】C

【试题解析】由S3＝a1（1＋q＋q2）＝21且a1＝3,

得q2＋q－6＝0.

∵q＞0,∴q＝2,

∴a3＋a4＋a5＝q2（a1＋a2＋a3）＝q2·S3＝22·21＝84.

3.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2＋a5＝0,则等于（　　）

A.11B.5C.－8D.－11

考点　等比数列前n项和

题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题

【参考答案】D

【试题解析】由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0,

∴q＝－2,则＝＝－11.

4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3＝a2＋10a1,a5＝9,则a1等于（　　）

A.B.－

C.D.－

考点　等比数列前n项和

题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题

【参考答案】C

【试题解析】设等比数列{an}的公比为q,

由S3＝a2＋10a1,得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1,

即a3＝9a1,q2＝9,

又a5＝a1q4＝9,所以a1＝.

5.设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2,S4＝3a4＋2,则a1等于（　　）

A.－2B.－1

C.D.

【参考答案】B

【试题解析】由S2＝3a2＋2,S4＝3a4＋2,得a3＋a4＝3a4－3a2,即q＋q2＝3q2－3,解得q＝－1（舍去）或q＝,将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2,解得a1＝－1,故选B.

6.已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于（　　）

A.－6（1－3－10）B.（1－3－10）

C.3（1－3－10）D.3（1＋3－10）

考点　等比数列前n项和

题点　求等比数列的前n项和

【参考答案】C

【试题解析】由3an＋1＋an＝0,得＝－,

故数列{an}是公比q＝－的等比数列.

又a2＝－,可得a1＝4.

所以S10＝＝3（1－3－10）.

7.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是（结果保留到个位）（　　）

A.300米B.299米

C.199米D.166米

考点　等比数列前n项和应用题

题点　等比数列前n项和的应用题

【参考答案】A

【试题解析】小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300（米）.

二、填空题

8.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1＝1,S6＝4S3,则a4＝________.