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圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点,则有。
椭圆的标准方程为:
()(焦点在x轴上)或()(焦点在y轴上)。
注:
①以上方程中的大小,其中;
②在和两个方程中都有的条件,要分清焦点的位置,只要看和的分母的大小。
例如椭圆(,,)当时表示焦点在轴上的椭圆;当时表示焦点在轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
①范围:
由标准方程知,,说明椭圆位于直线,所围成的矩形里;
②对称性:
在曲线方程里,若以代替方程不变,所以若点在曲线上时,点也在曲线上,所以曲线关于轴对称,同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称。
若同时以代替,代替方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:
确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中,令,得,则,是椭圆与轴的两个交点。
同理令得,即,是椭圆与轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为和,和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:
椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中,,,,且,即;
④离心率:
椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵,∴,且越接近,就越接近,从而就越小,对应的椭圆越扁;反之,越接近于,就越接近于,从而越接近于,这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为。
2.双曲线
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线()。
注意:
①式中是差的绝对值,在条件下;时为双曲线的一支;时为双曲线的另一支(含的一支);②当时,表示两条射线;③当时,不表示任何图形;④两定点叫做双曲线的焦点,叫做焦距。
(2)双曲线的性质
①范围:
从标准方程,看出曲线在坐标系中的范围:
双曲线在两条直线的外侧。
即,即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性:
双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点:
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线的方程里,对称轴是轴,所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,他们是双曲线的顶点。
令,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
1)注意:
双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2)实轴:
线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴:
线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:
注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看,双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线:
1)定义:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式:
;
2)等轴双曲线的性质:
(1)渐近线方程为:
;
(2)渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
3)注意到等轴双曲线的特征,则等轴双曲线可以设为:
,当时交点在轴,当时焦点在轴上。
⑥注意与的区别:
三个量中不同(互换)相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。
3.抛物线
(1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。
定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意:
它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(,0),它的准线方程是;
(2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:
,,.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
轴
轴
轴
轴
顶点
离心率
说明:
(1)通径:
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;
(2)抛物线的几何性质的特点:
有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调的几何意义:
是焦点到准线的距离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:
若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点:
若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点{方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。
二、圆:
1、定义:
点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:
(1)标准方程:
圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程:
①当D2+E2-4F>0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为半径是。
配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-,-);
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r点M在圆C内,|MC|=r点M在圆C上,|MC|>r点M在圆C内,其中|MC|=。
(4)直线和圆的位置关系:
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与圆相交有两个公共点;直线与圆相切有一个公共点;直线与圆相离没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(01.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件
点集:
({M||MF1+|MF2|=2a,|F1F2|<2a}.
点集:
{M||MF1|-|MF2|.
=±2a,|F2F2|>2a}.
点集{M||MF|=点M到直线l的距离}.
图形
方
程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
参数方程
(t为参数)
范围
─axa,─byb
|x|a,yR
x0
中心
原点O(0,0)
原点O(0,0)
顶点
(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)
(a,0),(─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
x轴,y轴;
实轴长2a,虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0),F2(─c,0)
F1(c,0),F2(─c,0)
准线
x=±
准线垂直于长轴,且在椭圆外.
x=±
准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.
x=-
准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.
焦距
2c(c=)
2c(c=)
离心率
e=1
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:
双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.
⑷共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
.
⑸共渐近线的双曲线系方程:
的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.
【备注2】抛物线:
(1)抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向右;抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,开口向左;抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=- ,开口向上;
抛物线=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下.
(2)抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离;抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
(3)设抛物线的标准方程为=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p.
(4)已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角),,(叫做焦半径).
五、坐标的变换:
(1)坐标变换:
在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
(2)坐标轴的平移:
坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
(3)坐标轴的平移公式:
设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是(x,y),在新坐标系x′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则或
叫做平移(或移轴)公式.
(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
方程
焦点
焦线
对称轴
椭圆
+=1
(±c+h,k)
x=±+h
x=h
y=k
+=1
(h,±c+k)
y=±+k
x=h
y=k
双曲线
-=1
(±c+h,k)
x=±+k
x=h
y=k
-=1
(h,±c+h)
y=±+k
x=h
y=k
抛物线
(y-k)2=2p(x-h)
(+h,k)
x=-+h
y=k
(y-k)2=-2p(x-h)
(-+h,k)
x=+h
y=k
(x-h)2=2p(y-k)
(h,+k)
y=-+k
x=h
(x-h)2=-2p(y-k)
(h,-+k)
y=+k
x=h
六、椭圆的常用结论:
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.