信利杯全国初中数学联赛试题与答案.docx

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信利杯全国初中数学联赛试题与答案

2003年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论正确.请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填,得零分)

1、若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),则代数式的值等于(  )

(A)-   (B)-    (C)-15    (D)-13

2、在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.80元,超过20g而不超过40g时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内).如果某人所寄一封信的质量为72.5g,那么他应付邮费(  )

(A)2.4元   (B)2.8元    (C)3元    (D)3.2元

3、如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=(  )

(A)3600    (B)4500    (C)5400    (D)7200

4、四条线段的长分别为9,5,x,1(其中x为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中两条线段(如上图),则x可取值的个数为(  )

(A)2个    (B)3个    (C)4个    (D)6个

5、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有(  )

(A)1种    (B)2种    (C)4种    (D)0种

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6、已知x=1+,那么+-=          .

7、若实数x、y、z满足x+=4,y+=1,z+=,则xyz的值为      .

8、观察下列图形:

①         ②          ③        ④

根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为        .

9、如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成450,∠A=600,CD=4m,BC=(4-2)m,则电线杆AB的长为    m.

10、已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图像经过点A(-1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为      .

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11、如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.问EP与PD是否相等?

证明你的结论.

解:

             

12、某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:

小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:

13、如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k-2)x+k=0(k是整数)的最大整数根.P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B、C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA2+PB2+PC2的值.

解:

14、沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a-d)(b-c)>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:

是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a-d)(b-c)≤0?

请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:

是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a-d)(b-c)≤0?

请说明理由.

解:

(1)

(2)

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题(每小题6分,满分30分)

1.D由解得代入即得.

2.D

因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元).

3.C

如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°,

而∠BMN+∠FNM=∠D+180°,所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

 

(第3题图)

(第4题图)

4.D

显然AB是四条线段中最长的,故AB=9或AB=x。

(1)若AB=9,当CD=x时,,;

当CD=5时,,;

当CD=1时,,.

(2)若AB=x,当CD=9时,,;

当CD=5时,,;

当CD=1时,,.

故x可取值的个数为6个.

5.B

设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,…,k+(n-1),由题意可知,即.

因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的奇偶性不同.将200分解质因数,可知n=5或n=8.当n=5时,k=18;当n=8时,k=9.共有两种不同方案.

6..

=。

7.1.

因为,

所以 ,

解得 .

从而 ,.

于是 .

8.161.

根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为

1+4+3×4++=1+4+12+36+108=161(个).

9..

如图,延长AD交地面于E,过D作DF⊥CE于F.

(第9题图)

因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m,所以CF=DF=m,EF=DFtan60°=(m).

因为,所以(m).

10.-4.

由于二次函数的图象过点A(-1,4),点B(2,1),所以

解得 

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点,所以,

,即,由于a是正整数,故,

所以≥2.又因为b+c=-3a+2≤-4,且当a=2,b=-3,c=-1时,满足

题意,故b+c的最大值为-4.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.问EP与PD是否相等?

证明你的结论.

解:

DP=PE.证明如下:

因为AB是⊙O的直径,BC是切线,

所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC,得

(第11题图)

.①……(6分)

又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC.

故 ②   ……(12分)

由①,②得 ED=2EP.

所以 DP=PE.……(15分)

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:

小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:

从A城出发到达B城的路线分成如下两类:

(1)从A城出发到达B城,经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为26小时,从O城到B城所需最短时间为22小时.所以,此类路线所需最短时间为26+22=48(小时).……(5分)

(2)从A城出发到达B城,不经过O城.这时从A城到达B城,必定经过C,D,E城或F,G,H城,所需时间至少为49小时.……(10分)

综上,从A城到达B城所需的最短时间为48小时,所走的路线为:

A→F→O→E→B.……(12分)

所需的费用最少为:

80×48×1.2=4608(元)…(14分)

答:

此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B,所需的费用最少为4608元……(15分)

(第12题图)

13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.

(1)当点D在斜边AB内部时,求证:

.

(2)当点D与点A重合时,第

(1)小题中的等式是否存在?

请说明理由.

(3)当点D在BA的延长线上时,第

(1)小题中的等式是否存在?

请说明理由.

解:

(1)作DE⊥BC,垂足为E.由勾股定理得

所以 .

因为DE∥AC,所以 .

故 .……(10分)

(2)当点D与点A重合时,第

(1)小题中的等式仍然成立。

此时有

AD=0,CD=AC,BD=AB.

所以 ,

.

从而第

(1)小题中的等式成立.……(13分)

(3)当点D在BA的延长线上时,第

(1)小题中的等式不成立.

作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则

而,

所以 .……(15分)

〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清

者不扣分).

14B.已知实数a,b,c满足:

a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求的最小值.

解:

(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0,

且b+c=2-a,.

于是b,c是一元二次方程的两实根,

≥0,

≥0,≥0.所以a≥4.……(8分)

又当a=4,b=c=-1时,满足题意.

故a,b,c中最大者的最小值为4.          ……(10分)

(2)因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.

1)若a,b,c均大于0,则由

(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛盾.

2)若a,b,c为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则

(1)知a≥4,故2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。

故的最小值为6.……(15分)

 

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程(k是整数)的最大整数根.P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求的值.

解:

设方程的两个根

为,,≤.由根与系数的关系得

(第13A图)

,①

.②

由题设及①知,,都是整数.从①,②消去k,得

.

由上式知,,且当k=0时,,故最大的整数根为4.

于是⊙O的直径为4,所以BC≤4.

因为BC=PC-PB为正整数,所以BC=1,2,3或4.……(6分)

连结AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,

故 ③……(10分)

(1)当BC=1时,由③得,,于是

,矛盾!

(2)当BC=2时,由③得,,于是

,矛盾!

(3)当BC=3时,由③得,,于是

由于PB不是合数,结合,故只可能

解得 

此时 .

(4)当BC=4,由③得,,于是

,矛盾.

综上所述

.……(15分)

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:

是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有≤0?

请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:

是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有≤0?

请说明理由.

解:

(1)答案是肯定的.具体操作如下:

 

 

……(5分)

(2)答案是肯定的.考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P.……(7分)

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