信利杯全国初中数学联赛试题与答案.docx

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信利杯全国初中数学联赛试题与答案

2003年“TRULY　信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论正确．请将正确结论的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填，得零分）

1、若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（xyz≠0），则代数式的值等于（　　）

（A）－　　　（B）－　　　　（C）－15　　　　（D）－13

2、在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0．80元，超过20g而不超过40g时付邮费1．60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0．80元（信的质量在100g以内）．如果某人所寄一封信的质量为72．5g，那么他应付邮费（　　）

（A）2．4元　　　（B）2．8元　　　　（C）3元　　　　（D）3．2元

3、如下图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝（　　）

（A）3600　　　　（B）4500　　　　（C）5400　　　　（D）7200

4、四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中两条线段（如上图），则x可取值的个数为（　　）

（A）2个　　　　（B）3个　　　　（C）4个　　　　（D）6个

5、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（　　）

（A）1种　　　　（B）2种　　　　（C）4种　　　　（D）0种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6、已知x＝1＋，那么＋－＝　　　　　　　　　　．

7、若实数x、y、z满足x＋＝4，y＋＝1，z＋＝，则xyz的值为　　　　　　．

8、观察下列图形：

①　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　③　　　　　　　　④

根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为　　　　　　　　．

9、如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成450，∠A＝600，CD＝4ｍ，BC＝（4－2）ｍ，则电线杆AB的长为　　　　ｍ．

10、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（其中a是正整数）的图像经过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b＋c的最大值为　　　　　　．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11、如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．问EP与PD是否相等？

证明你的结论．

解：

12、某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：

小时）如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元．试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：

13、如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2＋2（k－2）x＋k＝0（k是整数）的最大整数根．P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B、C是直线PBC与⊙O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2＋PB2＋PC2的值．

解：

14、沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式（a－d）（b－c）＞0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作．

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有（a－d）（b－c）≤0？

请说明理由．

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有（a－d）（b－c）≤0？

请说明理由．

解：

（1）

（2）

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

1．D由解得代入即得.

2．D

因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.

3．C

如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，

而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

（第3题图）

（第4题图）

4．D

显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。

（1）若AB=9，当CD=x时，，；

当CD=5时，，；

当CD=1时，，.

（2）若AB=x，当CD=9时，，；

当CD=5时，，；

当CD=1时，，.

故x可取值的个数为6个.

5．B

设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知，即.

因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同.将200分解质因数，可知n=5或n=8.当n=5时，k=18；当n=8时，k=9.共有两种不同方案.

6．.

＝。

7．1.

因为，

所以　，

解得　.

从而　，.

于是　.

8．161.

根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为

1+4+3×4++=1+4+12+36+108=161（个）.

9．.

如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.

（第9题图）

因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=m，EF=DFtan60°=（m）.

因为，所以（m）.

10.－4.

由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以

解得　

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以，

，即，由于a是正整数，故，

所以≥2.又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足

题意，故b+c的最大值为－4.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.问EP与PD是否相等？

证明你的结论.

解：

DP=PE.证明如下：

因为AB是⊙O的直径，BC是切线，

所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC，得

（第11题图）

.①……（6分）

又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.

故　②　　　……（12分）

由①，②得　ED=2EP.

所以　DP=PE.……（15分）

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：

小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：

从A城出发到达B城的路线分成如下两类：

（1）从A城出发到达B城，经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（小时）.……（5分）

（2）从A城出发到达B城，不经过O城.这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时.……（10分）

综上，从A城到达B城所需的最短时间为48小时，所走的路线为：

A→F→O→E→B.……（12分）

所需的费用最少为：

80×48×1.2=4608（元）…（14分）

答：

此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元……（15分）

（第12题图）

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

（1）当点D在斜边AB内部时，求证：

.

（2）当点D与点A重合时，第

（1）小题中的等式是否存在？

请说明理由.

（3）当点D在BA的延长线上时，第

（1）小题中的等式是否存在？

请说明理由.

解：

（1）作DE⊥BC，垂足为E.由勾股定理得

所以　.

因为DE∥AC，所以　.

故　.……（10分）

（2）当点D与点A重合时，第

（1）小题中的等式仍然成立。

此时有

AD=0，CD=AC，BD=AB.

所以　，

.

从而第

（1）小题中的等式成立.……（13分）

（3）当点D在BA的延长线上时，第

（1）小题中的等式不成立.

作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

而,

所以　.……（15分）

〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清

者不扣分）.

14B．已知实数a，b，c满足：

a+b+c=2，abc=4.

（1）求a，b，c中的最大者的最小值；

（2）求的最小值.

解：

（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，

且b+c=2-a，.

于是b，c是一元二次方程的两实根，

≥0，

≥0，≥0.所以a≥4.……（8分）

又当a=4，b=c=-1时，满足题意.

故a，b，c中最大者的最小值为4.　　　　　　　　　　……（10分）

（2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.

1）若a，b，c均大于0，则由

（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.

2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则

，

由

（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。

故的最小值为6.……（15分）

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根.P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值.

解：

设方程的两个根

为，，≤.由根与系数的关系得

（第13A图）

，①

.②

由题设及①知，，都是整数.从①，②消去k，得

，

.

由上式知，，且当k=0时，，故最大的整数根为4.

于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.

因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4.……（6分）

连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，

。

故　③……（10分）

（1）当BC=1时，由③得，，于是

，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，，于是

，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，，于是

，

由于PB不是合数，结合，故只可能

解得　

此时　.

（4）当BC=4，由③得，，于是

，矛盾.

综上所述

.……（15分）

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？

请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？

请说明理由.

解：

（1）答案是肯定的.具体操作如下：

……（5分）

（2）答案是肯定的.考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P.……（7分）