乘除法数字谜Word格式.docx

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练习二

第三讲图形的个数

例1.下面图形中有多少个正方形？

图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×

3＝18个，2×

2的正方形有5×

2＝10个，3×

3的正方形有4×

1＝4个。

因此图中共有18＋10＋4＝32个正方形。

例2.下列图中共有多少个三角形？

为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

〔1〕图中共有6个小三角形；

〔2〕由两个小三角形组合的三角形有3个；

〔3〕由三个小三角形组合的三角形有4个；

〔4〕由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6＋3＋4＋1＝14个三角形。

练习三

1.下列图中共有多少个正方形？

2.下列图中共有多少个正方形？

3.下列图中共有多少个正方形，多少个三角形？

4.下面图中共有多少个三角形？

第四讲找出数字的排列规律〔一〕

找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

〔一〕思路指导

例1.在下面数列的〔 

〕中填上适当的数。

1，2，5，10，17，〔 

〕，〔 

〕，50

分析与解：

这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：

第一个括号里应填；

第2个括号里应填。

例2.自1开场，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：

1，4，7，10……问：

第100个数是多少？

第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，……依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是。

由此我们可以得出这样的规律：

等差数列的任一项都等于：

第一项＋〔这项的项数－1〕×

公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。

利用通项公式可以求出等差数列的任一项。

练习四

1.找规律填数：

〔1〕1，3，7，15，______；

〔2〕l，4，13，40，121，____，____。

2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数：

〔1〕2，6，18，54，□，486，1458；

〔2〕l，4，9，16，□，36，49

3.看规律填数：

〔l〕0，3，7，12，______，25，33；

〔2〕l，2，5，10，17，____，______，50。

4.按规律填数：

〔l〕2，4，7，11，16，

〔2〕3，5，9，17，33，65，

5.按每组数的排列规律，填写最后一个数：

〔1〕2，4，16，256，______；

〔2〕12，19，33，61，117，______。

6.数列5，8，11，14，17，…的第25项是______，第100项是____。

第五讲找出数的排列规律〔二〕

例3.一列数：

2，5，8，11，14，……，44，……，问：

44是这列数中的第几个数？

显然这是一个等差数列，首项〔第一项〕是2，公差是3。

我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，……，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。

由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

〔这一项－首项〕÷

公差＋1

这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。

试试看：

数列7，11，15，……195，共有多少个数？

练习五

1.按规律填数：

〔1〕3，5，9，17，______，65。

〔2〕1，2，4，7，______，16。

2.数列2，9，16，23，30，…，135，…中的135是这列数的第____个数。

3.数列2，4，8，…的第10项是______。

4.数列7，11，15，19，23，…，119，共有______个数。

5.下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并在横线上填写适当的数：

2，97，1，4，98，3，6，99，5，____，____，7，10，101，____，12，102，11，…。

第六讲数列求和〔一〕

假设干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开场，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

通项公式：

第n项＝首项＋〔项数－1〕×

项数公式：

项数＝〔末项－首项〕÷

例1.有一个数列：

4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？

分析与解答：

容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进展计算。

项数＝〔52－4〕÷

6＋1＝9，即这个数列共有9项。

例2.有一等差数列：

3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？

这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项＝首项＋公差×

〔项数－1〕〞进展计算。

第100项＝3＋4×

〔100－1〕＝399

练习六

1.等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2，这个等差数列共有多少项？

2.有一个等差数列：

2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？

3.等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？

4.一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10，它的末项是多少？

5.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

第七讲数列求和〔二〕

例3.有这样一个数列：

1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，那么得到〔1＋100〕＋〔2＋99〕＋〔3＋98〕＋…＋〔99＋2〕＋〔100＋1〕，其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1＋2＋3＋…＋99＋100＝〔1＋100〕×

100÷

2＝5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和＝〔首项＋末项〕×

项数÷

2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

例4.求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

公差＋1＝〔50－2〕÷

2＋1＝25

首项＝2，末项＝50，项数＝25

等差数列的和＝〔2＋50〕×

25÷

2＝650

练习七

计算下面各题。

1.1＋2＋3＋…＋49＋50

2.6＋7＋8＋…＋74＋75

3.100＋99＋98＋…＋61＋60

4.2＋6＋10＋14＋18＋22

5.5＋10＋15＋20＋…＋195＋200

6.9＋18＋27＋36＋…＋261＋270

第八讲数列求和〔三〕

例5.计算〔2＋4＋6＋…＋100〕－〔1＋3＋5＋…＋99〕

容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。

因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

〔2＋4＋6＋…＋100〕－〔1＋3＋5＋…＋99〕

＝〔2－1〕＋〔4－3〕＋〔6－5〕＋…＋〔100－99〕

＝1＋1＋1＋…＋1

＝50

练习八

计算下面各题

1.〔2001＋1999＋1997＋1995〕－〔2000＋1998＋1996＋1994〕

2.〔2＋4＋6＋…＋2000〕－〔1＋3＋5＋…＋1999〕

3.〔2＋4＋6＋…＋1998〕－〔1＋3＋5＋…＋1997〕

4.〔1＋3＋5＋…＋999〕－〔2＋4＋6＋…＋998〕

5.〔1＋3＋5＋…＋1999〕－〔2＋4＋6＋…＋1998〕

第九讲数阵图〔一〕

填“幻方〞是同学们比拟熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比拟常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：

一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母〔或符号〕表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母〔或符号〕应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下列图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：

A＋B＋C＋D＋E＝35，A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×

2＝42。

把两式相比拟可知，E＝42－35＝7，即中间填7。

然后再根据5＋9＝6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

练习九

1.把1～10各数填入“六一〞的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1～9各数填入“七一〞的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

第十讲数阵图〔二〕

例2.将1～10这十个数填入下列图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

设中间两个圆中的数为a、b，那么两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b＝30×

2，即55＋a＋b＝60，a＋b＝5。

在1～10这十个数中1＋4＝5，2＋3＝5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是〔2，6，8，9〕和〔3，5，7，10〕；

当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为〔1，5，9，10〕和〔4，6，7，8〕。

例3.将1～6这六个数分别填入下列图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

设中间三个圆内的数是a、b、c。

因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋〔a＋b＋c〕除以3没有余数。

1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21÷

3＝7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。

在1～6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除