平面向量的线性运算以及坐标运算文档格式.docx
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共起点.
三角形不等式:
.
运算性质:
交换律:
;
结合律:
.
3、向量数乘运算:
实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
当时,的方向与的方向相同;
当时,的方向与的方向相反;
当时,.
运算律:
;
二、同步例题分析
例1、判断下列命题的真假。
(1)零向量是没有方向的;
(2)零向量与任一向量共线;
(3)零向量的方向是任意的;
(4)单位向量都是相等的向量;
(5)向量与向量的长度相等;
(6)不相等的向量一定不平行;
(7)若两个单位向量共线,则必相等;
(8)向量就是有向线段;
(9)非零向量的单位向量是;
(10)若,则;
(11)若,则;
(12)若,则;
(13)若,则。
例2、给出下列几个命题:
(1)若,则;
(2)若,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点;
(3)在平行四边形ABCD中,一定有;
(4)若,则。
其中不正确命题的个数为()
A.2B.3C.4D.5
A.2个B.3个C.4个D.5个
4、已知任意平面四边形ABCD中,EF分别为AD、BC的中点。
求证:
5、如图,在五边形ABCDE中,若ACDE是平行四边形,且,,,试用表示向量及。
例8、设两个非零向量不共线,
(1)若,求证:
A、B、D三点共线。
(2)试确定实数k使得与共线。
变式:
如图,平行四边形ABCD中,E是DC中点,AE交BD于M,试用向量的方法证明:
M是BD的一个三等分点。
三、课后作业
1、若有以下命题:
两个相等向量的模相等;
若和都是单位向量,则;
相等的两个向量一定是共线向量;
,,则;
零向量是唯一没有方向的向量;
两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是。
2、已知下列各式:
①;
②③④
其中结果为零向量的个数为()
A.1B.2C.3D.4
3、在ABCD中,设,则下列等式中不正确的是()
A.B.C.D.
4、若a与b的方向相反,且,则a+b的方向与a的方向;
此时.
5、若则的取值范围是
6、(广东卷)如图1所示,是的边上的中点,则向量()
A.B.C.D.
7、在四边形ABCD中,若,则四边形ABCD的形状____
8、设为两个不共线的向量,若与共线,则=__________________
9、设是两不共线的向量,若,试证三点共线.
10、如图,在任意四边形ABCD中,E、F分别是AD,BC的中点,求证:
思考题:
设点O在△ABC内部,且有,求三角形ABC与三角形OBC的面积之比。
平面向量的基本定理及坐标表示
一、知识点梳理
1、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数、,使a=e1+e2。
称不共线的向量e1、e2叫做一组基底。
2、已知两个非零向量a和b,做,则叫做向量a与b的夹角。
如果a与b的夹角是90°
,则称a与b,记作。
3、向量的正交分解:
4、平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标:
设是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,对于平面上任一向量a,有且只有一对实数,使得,记作。
(2)平面向量的坐标运算
①,则有
,,,
②设,则有;
③向量共线的坐标表示:
设,则有a与b共线,;
④中点公式
设,P为的中点,则对任一点O,有
,所以点P的坐标是。
二、专题经典讲练
例1、设是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是()
A.B.
C.D.
例2、已知,向量,若,求向量。
1、已知,求。
2、若,则=___________。
3、设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为()
(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(-4,6)(D)(4,-6)
4、已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为()
A.0B.-8C.2D.10
例2、已知点,设的平分线AE与BC相交于E,且,则等于()
A.2B.C.-3D.
1、是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足的轨迹一定通过的
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
2、平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,若点满足,其中有且,则点的轨迹方程为()
例3、已知点A(1,-2),若向量与={2,3}同向,=2,则点B的坐标为.
1、已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是()
A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]
2、已知向量,向量则的最大值,最小值分别是()
A.B.C.16,0D.4,0
3、若平面向量与向量的夹角是,且,则
A.B.C.D.
4、若向量,满足,则与所成角的大小为________.
例4、若向量,且,求的值。
1、已知向量且∥,则=
(A)(B)(C)(D)
2、向量,当为何值时,A、B、C三点共线。
3、的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为()
(A)(B)(C)(D)
例5、已知三点,点P满足
(1)为何值时,点P在正比例函数的图像上?
(2)设点P在第三象限,求的取值范围。
课后作业
1、下列各组向量中,可以作为基底的是()
A.,
B.,
C.,
D.,
2、已知点( )
A.B.C.D.
3、已知,,,若,则等于()
A.
B.
C.
D.
4、若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量,则向量的坐标为
6、在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=
7、已知ABCD为平行四边形,A(-1,2),B(0,0),C(1,7),则D点坐标为
8、若平面向量满足,平行于轴,,则.
9、已知点,,.若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为__________.