立体几何中的建系设点问题Word文档格式.docx
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寻找底面上的点能否存在
轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手
系，所以在标x,y轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论:
（1）线面垂直:
①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
2两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
3两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂
4直棱柱：
侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
菱形的对角线相互垂直
勾股定理逆定理：
若AB2+AC2=BC2，则AB丄AC
（二）坐标的书写：
建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点
（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的A,C,D'
点，坐标
特点如下:
X轴：
（X,0,0）y轴：
（0,y,0）z轴：
（0,0,z）
规律：
在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
（2）底面上的点：
坐标均为（x,y,0），即竖坐标z=0，由于底面在作立
体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：
以上图为例:
则可快速写出H,l点的坐标，位置关系清晰明
f1）
Hl1，2,0JIU，1，0
2、空间中在底面投影为特殊位置的点:
如果A（X1,y1,z）在底面的投影为A（X2,y2,0），那么为=%2,%=丫2（即点与投影点的横纵坐标相同）
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。
例如：
正方体中的B'
点，其投影为B，而B（1,1,0）所以B'
（1,1,z）,
而其到底面的距离为1，故坐标为B'
（1,1,1）以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法:
3、需要计算的点①中点坐标公式：
A（X1,y1,Z1）,B（X2,y2,Z2），贝JAB中点
M呼2F,宁］'
图冲的H,I,E,F等中点坐标均可计算
②利用向量关系进行计算（先设再求）：
向量坐标化后，向量的关系
也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方
法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量
的值，例如：
求A点的坐标，如果使用向量计算，则设A'
（x,y,z），可直接写出A（1,0,0）,B（1,1,0b'
（1,1,1，观察向量7B=7B，而7B=（0,1,0），
_.妝-1=0
「I
AB=（x_1,y-1,z—1）”{y-1=1=y=
[z—1=0
\-1
0「.A（1,0,）1
izi
二、典型例题:
例1：
在三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,NBAC=90,，D,E,F分别是
棱AB,BC,CD的中点，AB=AC=1,PA=2，
并确定各点坐标
解军：
；
PA丄平面ABC••.PA丄ABPA
'
/ZBAC=90”PA,AB,AC两两垂直
以AP,AB,AC为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点：
A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,P（0,0,2）
<
1、
中点：
D：
AB中点b0'
0丿
E:
BC中点l?
?
0J
F：
pc中点码寸
综上所述：
B（1,0,0）C（0,1,0）卩心回兀加丿吐,刈屮-11
小炼有话说：
本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进
行详细书写。
这些过程在解答题中可以省略。
例2:
在长方体ABCD-AiBiCiDi中，E,F分别是棱BC,CC上的点,
CF=AB=2CE,AB:
AD:
AAi=1：
2:
4，建立适当的直角坐标系并写出点
的坐标
设AB=a,AD=2a,AAi=4a等，则点的坐标都含
有a，不便于计算。
对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。
解：
因为长方体ABCD-ABQDi
二AB,AD,AA两两垂直
二以AB,AD,AAi为轴如图建系，设|AB|为单位长度
1
/.AD=2,AA^4,CF=1,CE=—
2
B（1,0,0）,C（1,2,0）,D（0,2,0）B,（1,0,4），A（0,0,4）6（124）,U（0,2,4）
例3:
女口图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1ZABC=60,
CF丄平面ABCD，且CF=1，建立适当的直角
坐标系并确定各点坐标。
意，NBCD不是直角。
所以可以以其中一条边
为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系
方案一：
（选择BC为轴），连结AC
AC=AD+DC-2ADDCcosADC=3
二AC=73
由AC=43,BC=1,NABC=60,可解得AB=2,NACB=90,
AC丄BCCF丄平面ABCD
二CF丄AC,CF丄BC
以AC,CF,BC为坐标轴如图建系:
1）
D
C
\
A
B（0,1,0“@,0,02冷-2,0丿F（0,0,1）
方案二（以CD为轴）过C作CD的垂线CMCF丄平面ABCD
/.CF丄CD,CF丄CM
/.以CD,CF,CM为坐标轴如图建系:
J3
（同方案一）计算可得：
CM=-2-,AB=2
討m,0〕B
、
-,0,D（0,-1,0）,F（0,0,1）
2丿
建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z轴），对
于x,y轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足C的直线为轴建立的坐标系。
例4:
已知四边形ABCD满足AD//BC,BA=AD=DC=—BC=a,E是BC中2
思路：
在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置
关系不变，这些都是作为已知条件使用的。
本题在翻折时，Lbae是等
边三角形，四边形AECD为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面b'
AE丄平面AECD，结合LIB'
AE是等边三角形，可取AE中点M，则
可证BM丄平面AECD，再在四边形AECD找一组过M的垂线即可建系解：
取AE中点M，连结B'
M
yUb'
ae是等边三角形
二B'
M丄AE
平面B'
AE丄平面AECD二B'
M丄平面AECD，连结DM二b'
m丄ME,b'
M丄MM四边形AECD为60的菱形•••LadE为等边三角形
二DM丄AE
二b'
m,md,me两两垂直如图建系，设IAB为单位长度
f1）
（1）（爲）
A--,0,0E-,0,0D|0—,0
l2丿l2丿12丿
F为b'
d中点
例5:
如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点
O,OA=4,OB=3,OP=4，且OP丄平面ABCD，点M为PC的三等分点（靠
近P），建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：
由OP丄平面ABCD，可得OP作为z轴，在底面上可利用菱形对角
线相互垂直的性质，选取OB,OC作为x,y轴。
在所有点中只有M的坐标相对麻烦’对于三等分点可得PM，从而转化为向量关系即可求出M坐标解：
ToP丄平面ABCD
/.OP丄OB,OP丄OC
二OP,OB,OC两两垂直以OP,OB,OC为坐标轴如图建系
可得：
P（0,0,4）B（3,0,0）,C（0,4,0》A（0,"
0>
D（-3,0,0）
11
设M（x,y,z）由PM=—PC可得：
PM=-PC
33
X=0
I4
iy二
z一4=一4
3
PM=（x,y,z-4）PC=（0,4T）
X=0
I4Me48〕
{y=—/.M0,—，一
3I33丿
8
z=一
（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点
坐标计算出来
例6:
如图所示的多面体中，已知正方形ABCD与直角梯形BDEF所在
的平面互相垂直，EF//BD,ED丄BD,AD=72,EF=ED=1,试建立适当的
空间直角坐标系并确定各点坐标思路：
题目已知面面垂直，从而可以找到DE与底面垂直，再由底面是
正方形，可选AD,DC为x,y轴，图中F点坐标相对麻烦，可以用投影法
和向量法计算得到
A72,0,0）c（o,72,o）,E（o,o,i）
底面上的点：
B（屁逅0）
F点两种确定方式:
①可看其投影，落在BD中点处伶飘，且高度为1,所以②设F（x,y,z）二EF=（x,y,z—1）,DB=（72,72,0）
X=——
血匚21
z-1=0
a（Q72,o）,a（Q-72,ow（M72,o）,b（_72,-Qo）,
Ci（o,o,^）c（o,—272,^）
方案二：
（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：
由》氏=2罷计算可得AiH=BiH=2
A（2,0,0）A（0,-2,0）3（020）
B（—2,0,02（0,0,75）
设C（x,y,z），则GC=（x,y,z—）Ai^=（-2^2,0）
由GC=A|A可得：
《y=-2=
乙-亦=0
x=-2
y=—2/.C（2,-2厂）5
z=45
综上所述:
A（2,0,0）A（0,-2,0）,Bi（0,2,0）,B（-2,0,0）,G（0,0，亦）,C（—2,-2，亦）
本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现,用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上
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