直线的倾斜角与斜率直线的方程Word格式文档下载.docx

直线的倾斜角与斜率直线的方程Word格式文档下载.docx

《直线的倾斜角与斜率直线的方程Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线的倾斜角与斜率直线的方程Word格式文档下载.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

抛物线

了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

圆锥曲线的

简单应用

了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角

（1）定义：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°

．

（2）倾斜角的范围为[0，π）．

2．直线的斜率

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°

的直线没有斜率．

（2）过两点的直线的斜率公式

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝＝.

3．直线方程

名

称

几何条件

方程

局限性

点

斜

式

过点（x0，y0），斜率为k

y－y0＝k（x－x0）

不含垂直于x轴的直线

截

斜率为k，纵截距为b

y＝kx＋b

两

过两点（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）

＝

不包括垂直于坐标轴的直线

续　表

距

在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a，b≠0）

＋＝1

不包括垂直于坐标轴和过原点的直线

一

般

Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．（　　）

（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．（　　）

（3）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（　　）

（4）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.（　　）

（5）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．（　　）

（6）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）×

　（5）×

　（6）√

（教材习题改编）经过两点A（m，3），B（1，2m）的直线的倾斜角为135°

，则m的值为（　　）

A．－2　　　　　　　　B.2

C．4D．－4

解析：

选B.由题意得＝tan135°

＝－1，

即2m－3＝m－1，所以m＝2，故选B.

（教材习题改编）经过点P0（2，－3），倾斜角为45°

的直线方程为（　　）

A．x＋y＋1＝0B.x＋y－1＝0

C．x－y＋5＝0D．x－y－5＝0

选D.由点斜式得直线方程为y－（－3）＝tan45°

·

（x－2）＝x－2，即x－y－5＝0，故选D.

（教材习题改编）倾斜角为120°

，在x轴上的截距为－1的直线方程是（　　）

A.x－y＋1＝0B.x－y－＝0

C.x＋y－＝0D．x＋y＋＝0

选D.因为倾斜角为120°

，所以斜率k＝－.

又因为直线过点（－1，0），

所以直线方程为y＝－（x＋1），即x＋y＋＝0.

如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（　　）

A．第一象限B.第二象限

C．第三象限D．第四象限

选C.由题意知直线的斜率k＝－＜0，直线在y轴上的截距b＝－＞0，故选C.

（教材习题改编）过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________．

当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.

3x－2y＝0或x＋y－5＝0

　　　　　　直线的倾斜角与斜率[学生用书P144]

[典例引领]

（1）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A.　　　　　　　B.∪

C.D．∪

（2）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

【解析】　

（1）设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.

（2）如图，因为kAP＝＝1，

kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.

【答案】　

（1）B　

（2）∪

1.若将本例

（2）中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

解：

因为P（－1，0），A（2，1），B（0，），所以kAP＝＝，kBP＝＝.

如图可知，直线l斜率的取值范围为.

2.若将本例

（2）中的B点坐标改为（2，－1），其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．

如图，直线PA的倾斜角为45°

，直线PB的倾斜角为135°

，由图象知l的倾斜角的范围为[0°

，45°

]∪[135°

，180°

）．

（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤

①求出斜率k＝tanα的取值范围．

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．

（2）斜率的求法

①定义法：

若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．

②公式法：

若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝（x1≠x2）求斜率．

[注意]　直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分，与三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈时，斜率k∈；

当α＝时，斜率不存在；

当α∈时，斜率k∈.

[通关练习]

1．直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是（　　）

A.　　　　　　　B.

C.D．

选B.直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π），所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.

2．若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为________．

因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.

由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.

4

　　　　　　求直线的方程[学生用书P145]

根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；

（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；

（3）直线过点（5，10），且与原点的距离为5.

【解】　

（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sinα＝（0≤α＜π），

从而cosα＝±

，则k＝tanα＝±

.

故所求直线方程为y＝±

（x＋4），

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

（2）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，

又直线过点（－3，4），

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；

当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k（x－5），即kx－y＋10－5k＝0.

由点线距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

求直线方程的2个注意点

（1）在求直线方程时，应先选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．

（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；

若采用截距式，应判断截距是否为零）．　

　求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点A（－5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；

（2）经过点B（3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

（1）当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将（－5，2）代入所设方程，解得a＝－，

所以直线方程为x＋2y＋1＝0；

当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，

则－5k＝2，解得k＝－，

所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

（2）由题意可知，所求直线的斜率为±

1.

又过点（3，4），由点斜式得y－4＝±

（x－3）．

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

　　　　　　直线方程的综合应用[学生用书P145]

过点P（4，1）作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．

（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

（2）当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

【解】　设直线l：

＋＝1（a>

0，b>

0），

因为直线l经过点P（4，1），

所以＋＝1.

（1）＋＝1≥2＝，

所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

（2）因为＋＝1，a>

0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b

＝（a＋b）·

＝5＋＋≥9，

当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.

直线方程的应用问题常见的类型及解法

（1）与函数相结合命题：

解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决．

（2）与方程、不等式相结合命题：

一般是利用方程、不等式等知识来解决．　

已知直线l1：

ax－2y＝2a－4，l2：

2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×

2×

（2－a）＋×

（a2＋2）＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，面积最小．

直线的倾斜角和斜率的关系

（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．

（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α

0°

＜α＜90°

90°

＜α＜180°

k

k＞0

不存在

k＜0

直线方程形式的选择

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜