上海浦东新区高三数学一模考试试题解析版Word格式文档下载.docx
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C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
D.
4．已知函数，则以下4个命题：
①是偶函数；
②在上是增函数；
③的值域为；
④对于任意的正有理数，存在奇数个零点.
其中正确命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】取特殊值可判断①②；
根据值域中不含负无理数可判断③；
根据为有理数或为无理数，解出可判断④.
【详解】①因为，所以，所以不是偶函数，故错误；
②因为，所以在不是增函数，故错误；
③因为，显然的值域中不含负无理数，
故的值域不为，故错误；
④的零点即为有理数或为无理数，
对于为有理数，必有解，
对于为无理数，必有解或无解，
故有三个零点或一个，故正确；
B.
二、填空题
5．________.
【答案】
【分析】由，再求解即可.
【详解】解：
因为，
故答案为：
.
【点睛】本题考查了数列的极限的运算，属基础题.
6．半径为2的球的表面积为________.
【分析】代入球的表面积公式:
即可求得.
【详解】，
由球的表面积公式可得,
故答案为:
【点睛】本题考查球的表面积公式;
属于基础题.
7．抛物线的准线方程为______________.
【分析】根据抛物线的性质得结论．
【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．
．
8．已知集合，，则=________．
【分析】利用集合间的运算直接求解
【详解】，所以.
9．已知复数满足（为虚数单位），则___________.
【分析】求出，再根据复数模的求法即可求解.
10．在中，若，，，则_________.
【分析】由内角和求得，然后由正弦定理求得．
由正弦定理得，所以.
11．函数的反函数的定义域为___________.
【分析】根据原函数与反函数的关系，直接求原函数的值域.
【详解】函数的值域为，反函数的定义域是原函数的值域，
故其反函数的定义域为.
12．在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）
【分析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的的值，从而确定其概率.
【详解】展开式的通项为，
，
当且仅当为偶数时，该项系数为有理数，
故有满足题意，
故所求概率.
【点睛】
（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：
第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；
第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
13．正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，则的取值范围为________．
【分析】与的交点为它们的中点，这样，结合表示出，计算数量积易得取值范围．
【详解】连接交于点，则正方形中，由于，得，∴，，
因为正方形的边长为，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：
本题考查平面向量的数量积．解题关键是的中点也是的中点，从而只要用表示出，就易求得取值范围．
14．若等比数列的前项和为，且满足，则数列的前项和为为________．
【分析】由可得，令，，求得和，确定数列的前项和为.
【详解】
（），
在（）式中，分别令，得，即，
因为是等比数列，所以公比，解得，
所以
15．设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为________．
【分析】将方程的解转化为两个函数交点问题求解.
【详解】由得有两个不同的解，
令，
的顶点在上，
而与的交点坐标为，
联立得，
由，解得或，
数形结合，要使得有两个不同的解，
则实数的取值范围是或或.
16．对于任意的正实数，，则的取值范围为___________.
【分析】法一，原式上下同时除以，再构造斜率的几何意义，求表示打算的取值范围；
法二，原式上下同时除以后，利用换元，再变形，利用基本不等式求表达式的取值范围.
【详解】法一：
转化为斜率
先把化作，故可看作
与两点的斜率
其中点在上，数形结合（如下图），
故最小值为相切时取得，
设，联立
由解得（舍）
当时，（极限思想）
故的取值范围是.
法二：
令，则，
再令，则原式，
当且仅当时取等号，
再令，则，
当且仅当时取等号，故原式，
又时，，
所以的取值范围是.
本题上下同时除以后，法一的关键是点在上运动，宜采用数形结合分析问题，法二的关键是通过换元，降次，变形再利用基本不等式求取值范围.
三、解答题
17．如图，直三棱柱中，，，，点为线段的中点．
求直三棱柱的体积；
求异面直线与所成的角的大小．（结果用反三角表示）
【答案】；
【分析】利用体积公式代入数据求值即可；
是异面直线与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求得结果即可.
因为，，，
所以，
因为，
所以．
是异面直线与所成的角或其补角.
在中，,,,，
由余弦定理得，，.
异面直线与所成的角为.
【点睛】本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出一面直线的夹角是解题的关键点，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题.
18．已知函数的最小正周期为.
（1）求与的单调递增区间；
（2）在中，若，求的取值范围.
（1），；
（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；
（2）由
（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.
（1）因为的最小正周期为，即
∴，令
解得
∴的单调递增区间是
（2）在中，若，
由
（1）得，，所以
因为所以，即
因为，所以；
所以
所以的取值范围
（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；
（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.
19．勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似地满足．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量.
（1）如果每月初进货公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？
（2）若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值．
（1）前7个月每月该食材都够用；
（2）为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为公斤．
（1）由题意知恒成立，讨论、确定不等式是否成立即可.
（2）保证全年每一个月该食材都够用有恒成立，即，可求的最小值．
（1）当时，每月需求量公斤，每月进货公斤，1到6月都够用；
当时，因为，第7个月该食材够用．
所以，前7个月每月该食材都够用
（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式对恒成立．
当时，恒成立，可得；
当时，恒成立，即恒成立，而当时，的最大值为
综上，可得．
∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为公斤．
20．已知椭圆，、为的左、右焦点.
（1）求椭圆的焦距；
（2）点为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点A、B，若面积为，求直线的方程；
（3）已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，椭圆和双曲线上满足的所有点组成曲线．若点是曲线上一动点，求的取值范围．
（1）；
（2）；
（3）
（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求焦距.
（2）由直线与椭圆关系，令，与椭圆方程联立有，应用弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，结合已知面积为1，即可求m的值.
（3）由题意知则曲线由双曲线、椭圆中的部分构成，令应用向量数量积的坐标表示即可得，讨论N在椭圆部分或双曲线部分，求的取值范围.
（1）由椭圆的方程知：
，即焦距为.
（2）设，代入得，
由得，，
所以Q到直线的距离，由，得
（3）由解得，设是曲线上一点，又，，，，
∴，
当在曲线上时，，
当时，，当时，，
所以；
当在曲线上时，；
当时，，；
综上，.
（1）由椭圆方程求参数c，进而求焦距.
（2）设直线方程，由直线与椭圆相交关系联立方程求，结合弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式求参数，写出直线方程.
（3）由题意知曲线由双曲线、椭圆中的部分构成，结合向量数量积的坐标表示构造函数，讨论N点的位置求向量数量积的范围.
21．已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数.
（1）判断，与，是否是非减函数?
（2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：
①，②，③，求的值.
（1）在上不是非减函数，在上是非减函数；
（3）.
（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论；
（2）任取、且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；
（3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解.
（1），
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
则函数在区间上不是非减函数，
当时，，
所以，函数在区间上为非减函数；
（2）任取、且，即，
因为函数在上为非减函数，
有，
，，，，
，则，则，，即，
因此，实数的取值范围是；
（3）由已知得，，得，
从而，，所以，，
因为函数为上的非减函数，
对任意的，，即，所以，，
，所以，，
所以，，
，则，因此，.
本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第
（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变
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