春华师版九年级数学下册263实践与探索Word下载.docx

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抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是（，0）

实践与探索

一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的

交点由方程组的解决定

利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值

二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系

用图象法求一元二次方程的近似根

新课导引

【生活链接】如图所示的是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图．位于地面O正上方km的A处的直升机向目标C发射防空导弹，已知点C距地面2．25km，与点O的水平距离为7km，若导弹运行到距地面最大高度为3km时，相应的水平距离为4km（即图中点D）．

如果导弹的运行轨迹为抛物线形，那么按轨迹运行的导弹能否击中目标C?

【问题探究】解决此问题的关键是如何将日常生活中的问题转化为数学问题，如何建立数学模型，并且将所得的解代回到实际问题中，验证是否具有实际意义．

【点拨】依题可知抛物线的顶点为（4，3）且过点A（0，），故设抛物线的解析式为y＝a（x－4）2＋3，当x＝0时，y＝，所以16a＋3＝，可得a＝－，从而知抛物线的解析式为y＝－（x－4）2＋3，当x＝7时，y＝－×

（7－4）2＋3＝－×

9＋3＝，即点C（7，2．25）在抛物线上，所以按轨迹运行的导弹能击中目标C

教材精华

知识点1抛物线与直线的交点

抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点是（0，c）．

当b2－4ac＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点．因为x轴上的点的纵坐标都为0，所以令y＝0，代入得ax2＋bx＋c＝0，解这个一元二次方程得x＝，所以抛物线与x轴交点的坐标是和．

一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的交点，由方程组的解的数目确定．

拓展当方程组有两组不同的解时两函数的图象有两个交点，当方程组只有一组解时两函数的图象只有一个交点，当方程组无解时两函数的图象没有交点．总之，研究直线与抛物线的交点，最终是讨论方程（组）的解的问题．

例如：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），则线段AB的长是多少?

解：

由于x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

故x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以AB＝|x1－x2|＝＝

＝．

又如：

已知y＝x2＋2x＋1，求抛物线与y轴和x轴的交点．

令x＝0，则y＝1，∴抛物线与y轴交于（0，1）．

令y＝0，则x2＋2x＋1＝0，解得x1＝－2－，x2＝－2＋，

∴抛物线与x轴交于（－2－，0），（－2＋，0）．

知识点2利用二次函数解决实际问题中的最值问题

我们生活的世界是多姿多彩的，无时无刻不在运动变化之中，而万事万物的变化也并不是毫无关联的，而是存在着广泛联系的．二次函数是反映世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．利用抛物线解决实际问题，首先必须建立数学模型，即将实际问题转化为二次函数问题，并求出函数的解析式，通过解析式和图形去研究问题．

拓展

（1）通过前面的学习，我们已经体会到了二次函数是一类最优化问题的数学模型．运用它来解决实际问题必须具备两个条件：

其一，会从实际问题中建立数学模型；

其二，会根据函数图象以及性质求出最大（最小）值．

（2）解答实际问题时，需要注意实际问题的要求和意义．

知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点情况与对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式有关系．

拓展

（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点情况有三种：

有两个交点，有一个交点，没有交点．

（2）抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点情况和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况之间的联系：

①当△＝b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的交点．②当△＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有一个交点．③当△＝b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，抛物线．y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．

（3）抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点间的距离公式为|x2－x1|＝＝（b2－4ac≥0）．

如果抛物线与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，在解题时可综合运用二次函数的知识与一元二次方程的知识．

我们可以借助二次函数的图象来求不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集；

反之，我们也可以通过解不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，达到不画图象求二次函数y＝ax2＋bx＋c中y＞0或y＜0时x的取值范围的目的．

知识点4用图象法求一元二次方程的近似根

由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的关系，从理论上来讲，我们可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根，但必须明确，这种求根方法只能算作是一元二次方程的近似解法．

拓展一元二次方程的图象解法体现了数形结合思想，我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系，一元二次方程是二次函数的特殊情况，即y＝0时的情况．一方面，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根；

另一方面，也可以借助求一元二次方程的根来判断图象的位置，使所画的抛物线比较准确．那么如何运用二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根呢?

下面提供三种方法：

（1）直接作函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；

（2）先将方程变为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝－c，则直线y＝－c与抛物线的交点的横坐标就是方程的根；

（3）先将方程变为ax2＝－bx－c，再分别作抛物线y＝ax2和直线y＝－bx－c，则两图象的交点的横坐标就是方程的根．

课堂检测

基础知识应用题

1、已知三角形的两边之和为20cm，这两边所夹的角为120°

，如图27－62所示，求三角形的面积的最大值；

当面积最大时，这两边的长各是多少?

2、已知抛物线y＝x2－6x＋8与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．

3、如图27－63所示，m在什么范围内取值时，二次函数y＝x2－2mx＋m2－1的图象与x轴的两个交点都在－2与4之间?

4、若不等式ax2＋abx＋b＞0的解集为1＜x＜2，试确定a，b的值．

5、将一根长为lcm的铁丝折成一个矩形，求矩形的面积S和矩形的一边长t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

6、在体育测试时，初三的一名高个子男同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图27－65所示，如果这个男同学的出手处，即A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）该男同学把铅球掷出去多远?

（精确到0．01m，≈3．873）

综合应用题

7、如图27－66所示的是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α，β，OA＝1km，tanα＝，tanβ＝，位于O点正上方km的D处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3km时，相应的水平距离为4km，即图中E点．

（1）若导弹运行轨迹为一抛物线，求该抛物线的解析式；

（2）按

（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C?

8、如图27－67所示，某隧道设计为双向回车道，车道宽22m，要求通过车辆限高4．5m，隧道全长2．5km，隧道的顶部近似地看成是抛物线形状，若最大拱高为6m，求隧道应设计的跨度是多少．

9、已知二次函数y＝x2＋（2m＋1）x＋m2的图象与x轴有两个交点．

（1）求m的取值范围；

（2）当这两个交点的横坐标的平方和等于7时，求m的值．

10、有一种葡萄，如果从树上摘下后不保鲜，那么最多只能存放一周，如果放在冷藏室，那么可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期间的个体重量基本保持不变，现有一个个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克并放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克葡萄的价格每天可上涨0．2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．

（1）设x天后每千克葡萄的市场价为P元，写出P与x的函数关系式；

（2）若存放x天后将葡萄一次性出售，设葡萄的销售总金额为y元，写出y关于x的函数关系式；

（3）该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获最大利润W?

最大利润W是多少?

（本题不要求写自变量x的取值范围）

探索与创新题

11、已知抛物线开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，－3）两点．

（1）若抛物线的对称轴为直线x＝－1，求抛物线的解析式；

（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；

（3）如果抛物线与x轴交于B，C两点，且∠BAC＝90°

，求此时a的值．

12、一商场的某种商品的价格下降x成（1成＝），则销售量增加Px成（P为大于1的常数）．

（1）当x在什么范围内取值时，售出的总金额有所增加?

（2）当x为何值时，才能使售出的总金额达到最大值?

体验中考

1、某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a元．

（1）试求a的值；

（2）为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图27－72所示，可近似看作是抛物线的一部分．

①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；

②求年利润S（万元）与广告费x（万元）之间的函数关系式，并计算广告费x（万元）在什么范围内时，公司获得的年利润S（万元）随广告费的增多而增多．（注：

年利润S＝年销售总额－成本费－广告费）

2、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图27－73所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式；

（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当x为何值时，S有最大值?

并求出最大值．（参考公式：

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当x＝－时，y最大（小）值＝）

3、某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．（注：

宾馆客房是以整间出租的）

（1）若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；

（2）设某天每间客房的定价增