第1章函数与极限Word下载.docx

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336

404

471

产量

y（t/ha）

15.18

21.36

25.72

32.29

34.03

39.45

43.15

43.46

40.83

30.75

【实验方案】

设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。

显然，y和x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数关系，则问题就转化为已知数据点（xi,yi）位置关系，寻找函数y=y（x）。

这就是数据拟合问题。

所谓数据拟合，就是从一组实验数据点（xi,yi）出发，寻找函数y=y（x）的一个近似表达式y=f（x）（称为经验公式）。

从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点（xi,yi），求曲线y=y（x）的一条近似曲线y=f（x）。

近似曲线y=f（x）不必过每一个数据点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点（xi,yi）离近似曲线的距离应该尽量小。

用偏差平方和函数

W=

来刻画近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足.

多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。

可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组数据（即用二次多项式函数a0+a1x+a2x2作为经验公式），此时偏差平方和函数为

其中n为数据点的数目。

要使偏差平方和函数W最小，需要

（该方程组称为法方程组），将实验数据（xi,yi）代入上式，解得

a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492

即拟合函数为

y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2

从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好呢？

一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高越好。

现在提高拟合次数，将基函数由1，x，x2修改为{1，x，x2，x3}（三次拟合），{1，x，x2，x3，x4}（四次拟合）……，得到拟合图1-11至图1-14。

从图形可以看出拟合曲线的次数在二、三、四、五次拟合的效果都相差不大，但是高次拟合效果反而不理想，例如本例中的八次拟合，所以在本例中使用二次拟合效果就比较好了，拟合函数为

【实验过程】

>

clear

x=[03467101135202259336404471];

y=[15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75];

p=polyfit（x,y,2）;

disp（[num2str（p

（1））,'

*x^2+'

num2str（p

（2））,'

*x+'

num2str（p（3））]）;

xx=linspace（0,471,100）;

yy=polyval（p,xx）;

plot（x,y,'

r*'

xx,yy）

运行结果：

图1-10二次拟合效果图

图1-11三次拟合效果图

图1-12四次拟合效果图

图1-13五次拟合效果图

图1-14八次拟合

复利问题

1.加深对函数极限概念的理解

2.讨论极限在实际问题中的应用

3.会用Matlab命令求函数极限

【实验要求】掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令limit

复利，即利滚利。

不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题。

随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。

现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。

若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。

结算越频繁，获利越大。

连续复利会造成总结算额无限增大吗？

随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？

设本金为p，年利率为r，若一年分为n期（即储户结算频率为n），每期利率为r/n,存期为t年，依题意，第一期到期后利息为

本金*利率=p*r/n

第一期到期后的本利和是

本金+利息=p+p*r/n=p（1+r/n）

因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为p（1+r/n），第二期到期后的利息应为

本金*利率=p（1+r/n）*r/n

第二期到期后的本利和是

本金+利息=p（1+r/n）+p（1+r/n）*r/n=p（1+r/n）2

……，

第n期到期后的本利和是

p（1+r/n）n

存期为t年（事实上是有tn期），到期后的本利和为

p（1+r/n）tn

随着结算次数的无限增加，即在上式中n→∞，t=1年后本息共计

≈10.6184（万元）

随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。

实际上，若年利率为r，一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp（r）元。

它表明在n→∞时，结果将稳定于这个值。

而且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。

symsn

a=limit（100000*（1+0.06/n）^n,n,inf）

a=

100000*exp（3/50）

一年结算无限次，总结算额有上限为

symsnr

a=limit（100000*（1+r/n）^n,n,inf）

100000*exp（r）

最优价格问题

1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解

2.讨论微分学中的实际应用问题

3.会用Matlab命令求函数极值

【实验要求】掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff

某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。

当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。

1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论

2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大

1.方法一：

设每套公寓月租金在1000元基础上再提高x元，每套租出公寓实际月收入为（）元，共租出（）套。

收益R（）=（）（）（0≤≤2500）

R′（）=

令R′（）=0，解得驻点=750。

R″（）=<

0，故R（）在=750处取得极大值。

在[0,2500]上只有一个驻点，故R（）在=750处取最大值。

即每套公寓的月租金为1750元时，才能使公司收益最大。

检验：

=1750元，少租出=30套，实际租出70套，公司有租金收入1750*70=122500元。

比100套全部租出时公司租金收入1000*100=100000元多22500元。

方法二：

设每套公寓月租金为元，少租出套，实际租出套

收益R（）=（）（1000≤≤3500）

R′（）=

令R′（）=0，解得驻点=1750（每套公寓租金）

检验讨论如方法一

2.设每套公寓月租金在1000元再提高元，每套租出公寓实际月租金收入是（1000+-20）元，共租出套

收益R（）=（）（）（0≤≤2500）

R′（）=+（980+）（）

令R′（）=0，解得驻点=760。

0，故R（）在=760处取得极大值。

在[0,2500]上只有一个驻点，故R（）在=760处取最大值。

即每套公寓的月租金为1760元时，才能使公司收益最大。

（1）方法一

f=inline（'

-（1000+x）*（100-x/25）'

）%通过内联函数建立函数f，定义求最大值的语句函数，注意负号%

>

a=fminbnd（f,0,2500）

x=-f（a）

f=

Inlinefunction:

f（x）=-（1000+x）*（100-x/25）

750

x=

122500

方法二

f=inline（'

-x*（100-（x-1000）/25）'

）

a=fminbnd（f,1000,3500）

f（x）=-x*（100-（x-1000）/25）

1750

122500

（2）>

-（980+x）*（100-x/25）'

f（x）=-（980+x）*（100-x/25）

760

实验二效果最佳问题

1.利用积分概念、函数最大值（最小值）理论，解决实际最优化问题

2.掌握符号求导的实际应用

3.熟悉Matlab命令求函数积分，解代数方程

【实验要求】掌握函数最大值（最小值）理论，Matlab软件求导命令、解方程的命令

洗过的衣服含有洗衣粉残液，现用总量为Am3的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有am3的洗衣粉残液。

若规定漂洗两遍，问如何分配水两次的用水量，才能使漂洗效果最佳？

设第一次用水量为xm3，则第二次用水量为（A-x）m3。

并设漂洗前衣服上含有的m3的洗衣粉残液中洗衣粉占bm3.

第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为.

第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比为，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为

两次漂洗后效果最佳就是漂洗后残液中洗衣粉含量最小，为此只要求

g（x）=（a+x）（a+A-x）（0<

x<

A）

的最大值。

g′（x）=（a+A-x）-（a+x）=A-2x

令g′（x）=0解得，因g″（x）=-2<

0，故g（）=（+）2为最大。

即为最小。

因此，将Am3的清水平分为两次使用可使漂洗效果最佳。

symsxaA

f=（a+x）*（a+A-x）;

b=diff（f,x）;

solve（b）

ans=

1/2*A

实验三相关变化率

1.加深对复合函数、相关变化率的理解

2.通过实例学习用微分知识解决实际问题

3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分

【实验要求】

掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令

有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求

1.当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？

2.何时梯子的