第1章函数与极限Word下载.docx

1、336404471产量y（t/ha）15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75 【实验方案】 设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数关系，则问题就转化为已知数据点（xi,yi）位置关系，寻找函数y=y（x）。这就是数据拟合问题。 所谓数据拟合，就是从一组实验数据点（xi,yi）出发，寻找函数y=y（x）的一个近似表达式y=f（x）（称为经验公式）。从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点（xi,yi），求曲线y=y（x）的一条近似曲线y=f（x）。近似曲线y=f（x）不必过每一个

2、数据点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点 （xi,yi）离近似曲线的距离应该尽量小。用偏差平方和函数 W= 来刻画近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足.多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组数据（即用二次多项式函数a0+a1x+a2x2作为经验公式），此时偏差平方和函数为其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数W最小，需要（该方程组称为法方程组），将实验数据（xi,yi）代入上式，解得 a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492即拟合函数为

3、 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好呢？一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高越好。现在提高拟合次数，将基函数由1，x，x2修改为1，x，x2，x3（三次拟合），1，x，x2，x3，x4（四次拟合），得到拟合图1-11至图1-14。 从图形可以看出拟合曲线的次数在二、三、四、五次拟合的效果都相差不大，但是高次拟合效果反而不理想，例如本例中的八次拟合，所以在本例中使用二次拟合效果就比较好了，拟合函数为【实验过程】clearx=0 34 67 101 135 202 259 336 4

4、04 471;y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;p=polyfit（x,y,2）;disp（num2str（p（1）,*x2+,num2str（p（2）,*x+,num2str（p（3）;xx=linspace（0,471,100）;yy=polyval（p,xx）;plot（x,y,r*,xx,yy）运行结果： 图1-10 二次拟合效果图 图1-11三次拟合效果图图1-12 四次拟合效果图图1-13 五次拟合效果图 图1-14 八次拟合 复利问题1.加深对函数极限概念的理解2.讨论极限在实际问题中的应用

5、3.会用Matlab命令求函数极限【实验要求】掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令limit 复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。 若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息

6、税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？ 设本金为p，年利率为r，若一年分为n期（即储户结算频率为n），每期利率为r/n,存期为t年，依题意，第一期到期后利息为 本金*利率=p*r/n第一期到期后的本利和是 本金+利息=p+p*r/n=p（1+r/n） 因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为p（1+r/n），第二期到期后的利息应为 本金*利率= p（1+r/n）*r/n第二期到期后的本利和是 本金+利息= p（1+r/n）+ p（1+r/n）*r/n

7、 =p（1+r/n）2，第n期到期后的本利和是p（1+r/n）n存期为t年（事实上是有tn期），到期后的本利和为 p（1+r/n）tn随着结算次数的无限增加，即在上式中n，t=1年后本息共计 10.6184（万元）随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。实际上，若年利率为r，一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp（r）元。它表明在n时，结果将稳定于这个值。而且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。 syms n a=limit（100000*（1+0.06/n）n,n,inf）a =1

8、00000*exp（3/50）一年结算无限次，总结算额有上限为 syms n ra=limit（100000*（1+r/n）n,n,inf）100000*exp（r） 最优价格问题1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微分学中的实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值【实验要求】掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff 某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出

9、租，才能使公司收益最大 1.方法一： 设每套公寓月租金在1000元基础上再提高x元，每套租出公寓实际月收入为（）元，共租出（）套。 收益 R（）= （）（） （02500） R（）= 令R（）=0，解得驻点=750。R（）=a=fminbnd（f,0,2500）x=-f（a）f = Inline function: f（x） = -（1000+x）*（100-x/25） 750x = 122500方法二 f=inline（-x*（100-（x-1000）/25）a=fminbnd（f,1000,3500） f（x） = -x*（100-（x-1000）/25） 1750 122500 （2）

10、-（980+x）*（100-x/25） f（x） = -（980+x）*（100-x/25） 760实验二 效果最佳问题1.利用积分概念、函数最大值（最小值）理论，解决实际最优化问题2.掌握符号求导的实际应用3.熟悉Matlab命令求函数积分，解代数方程【实验要求】 掌握函数最大值（最小值）理论，Matlab软件求导命令、解方程的命令 洗过的衣服含有洗衣粉残液，现用总量为A m3的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有a m3的洗衣粉残液。若规定漂洗两遍，问如何分配水两次的用水量，才能使漂洗效果最佳？ 设第一次用水量为x m3，则第二次用水量为（A-x） m3。并设漂洗前衣服上含有的m3的洗衣粉残

11、液中洗衣粉占b m3. 第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为. 第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比为，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为两次漂洗后效果最佳就是漂洗后残液中洗衣粉含量最小，为此只要求 g（x）=（a+x）（a+A-x） （0xA）的最大值。g（x）=（a+A-x）-（a+x）=A-2x令g（x）=0解得，因g（x）=-20，故g（）=（+）2为最大。即为最小。因此，将A m3的清水平分为两次使用可使漂洗效果最佳。 syms x a A f=（a+x）*（a+A-x）; b=diff（f,x）;solve（b）ans =1/2*A实验三 相关变化率1.加深对复合函数、相关变化率的理解2.通过实例学习用微分知识解决实际问题3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分【实验要求】掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求1.当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？2.何时梯子的