清北学堂物理VIP班竞赛模拟题四Word下载.docx

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（3）要使与不发生第二次相碰，应满足什么条件？

5。

有一内径均匀，两支管等长（长度大于）的型管，端封密，端开口。

用水银将一定质量的理想气体封闭在端后，将管竖直倒立，如图所示。

平衡时两管中水银面高度差为，此时闭管中气柱的长度。

若保持温度不变，不计水银与管壁的摩擦，当轻轻晃动一下型管使左端液面上升或下降（）时，将出现什么现象，试加以讨论并说明理由。

6。

一个直径1cm、总带电量10-8C的均匀带电塑料球，用一根绝缘线绳悬挂起来，其最底端与一个盐水容器的水面相距1cm。

已知盐水密度为1000km/m3，求水平面涌起的高度。

7。

有人在实验室中通过实验装置，形成了如右图所示的磁场分布区域MM，在该区域中，磁感应强度B的大小沿Z轴从左到右由强变弱，再由弱变强，对称面为PP，已知z轴上O点磁感强度B的大小为B0。

，两端M点的磁感强度为Bm。

，现有一束质量均为m，电量均为q，速度大小均为V0的粒子，在O点以与Z轴成不同角度α0向半空间发射。

设磁场足够强，粒子只能由紧邻Z轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动。

试分析说明具有不同的投射角α0的粒子在磁场区MM间的运动情况。

提示：

在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v┴的平方与磁力管轴上的磁感强度的大小B之比为一常量。

8。

如右图所示，由两面平面镜组成的角镜，P与O点相距为r，位于的角平分线上，当OB镜静止，OA镜以角速度ω顺时针转动，P沿PO方向以速度v匀速运动时，求P点的各个像的运动轨迹的曲率半径。

参考答案

1．解：

设静摩擦力和竖直方向的夹角为，则静态平衡条件为：

和

从这些方程中可以发现逃犯在爬墙时作用在墙上的弹力为

因此总的作用力F可以由下式求得：

可利用下面的不等式得到最小的力：

由此可得：

这里的μ0是静摩擦因数。

利用上面两式可以得到最小的力为：

此方程表明若要使主人公不从墙上掉下来，则静摩擦因数一定要大于1。

2．解：

使用固定在分针上的转动参考系，在此参考系中时针是做逆时针转动。

当时针的末端以最快的速度远离分针的末端时，时针、分针和其末端连线应构成一个直角三角形。

如图所示。

因为分针长度是时针长度的两倍，其间角度θ＝π／３。

现在我们计算午夜过后什么时间时针和分针的夹角为θ。

因为分针的转速是时针转速的１２倍，故时针与１２点的夹角可由１２ф－ф＝θ计算。

因此从１２点算起，分针转过的角度为，时间恰为午夜过后１１分钟。

注：

本题硬解也能解出，从时针和分针的距离表达式，可以求出其相对速度，然后由其驻点的位置可以确定钟臂所处的角度。

3．分析：

钢球对地的运动是一个曲线运动，绳对球的拉力作功为变为作功问题，因此用牛顿定律来处理本题是行不通的，考虑两球组成的系统为研究对象，则内力（绳中的张力）做功的代数和为零。

解一

（1）以地面为参照系，设m沿方向运动距离时，钢球第一次碰撞，此时力F作用点拉过距离，m除有方向的水平速度外，还有绕作用点的速度，即为所求的，由质点系动能定理有

①

对系统而言，水平方向受恒力作用，小钢球水平加速度恒定，由动力学和运动学关系有②

③

联立①、②、③式解得

（2）最后两球一直处于接触状态，垂直于方向的速度消失，由此而失去的能量即为所求，故

解二:

在O系考察，由对称性可知，质心只有水平方向加速度，大小为

在O系中，两钢球对作圆周运动，如图4-6所示。

钢球所受惯性力分别为，绳的拉力作功为零，在质心系中，由动能定理有

由上式得

4．解：

与弹性碰撞，满足

得，

之后，以速度匀速运动，则以碰撞点为平衡位置做简谐运动。

有

得振幅：

，周期：

简谐运动方程为

（1）不能，设m到达右方最大位置的时间为，要使M在这段时间能追上m，则M在t1时间内位移大于振幅A，即，所以，将v1、v2代入得

即要求，显然这是不可能的。

（2）第一次碰撞后m运动到右方最大位置，再返回到A/2处，所需时间为t2，则有得

要使M在m返回点A/2处第二次相碰，M在此时间内位移应为A/2，

即得：

即：

（3）要使M与m不发生第二次相碰，M在碰后应向左运动，而且不被m追赶上，这样，方向向左。

以第一次碰撞点的位置为坐标原点，向右为x正方向，在任一t时刻m、M的位置坐标可表示为①

②

这两个关系式可表示在同一x-t坐标系中，对应的临界情况是相遇不相碰，将该点记为P，如图所示。

则对P点，显然有

④

（此式表示在点P处，M与m的速度相同，故对xm与xM的导数应一致）

由④式可得⑤

由此可得⑥

（之所以取负值是因为是第三象限角，故为负）

由⑤式得⑦

将⑥⑦式代入③式，并令，得：

其中为第三象限角，用计算机逼近法，解得：

即

解得，此为临界条件，故不碰的条件为

5．解：

本题由于玻璃管的形状较为特殊，因此液面上下晃动以后可能产生多种情况，需要把管内部分水银柱所受左、右两边的压强差的表达式写出来，然后加以分析。

以A端密封气柱为研究对象，以最初平衡位置为初态，左端液面上升（或下降）了（设此时液柱速度为零）为末态，根据玻意尔定律可得

解得

此时U型管内CD段水银柱所受左、右两边的压强差

①代入②得：

由此可见，可正可负，为1（或-1）是临界值，现讨论如下：

（1）如果，，水银柱将被压回原来位置，并在原来平衡位置附近振动。

（2）如果，，水银柱将继续受到一个向右的压强，左端水银面将继续上升，而且从的表达式可以看出，越大，也越大，水银将不断地由管流向管。

由于两管长度和水银柱长度都大于78cm，当管液面上升到时，管中水银柱长度大于76cm，因此水银柱将继续流向管，直至有一部分水银流出管口。

（3）如果△h=1cm，而且此时水银柱速度又恰好为零，那么由于△P=0，所以，这是一个新的平衡位置。

但这是一个不稳定平衡，如果稍有扰动，水银柱就将离开这个位置。

如果A端液面因受扰动而向下运动，那么将出现

（1）中情况；

如果A端液面因受扰动而向上运动，那么将出现

（2）中情况。

6．解：

盐水是电的良导体，因此其表面会产生感应电荷，可用电像法解。

先假设水面的隆起非常微小以至于远小于3r，则电量Q在P的电场强度为

P点上方实际的电场强度为Q与其镜像-Q共同产生的电场

根据高斯定理，P点的表面电荷密度为

则水面上单位面积受到的力为

该力与因水面升高而产生的附加压强造成的力抵消

因此前面的假设是正确的

7．解：

这里讨论的是非均匀磁场对带电粒子的作用，同样满足洛仑兹力不做功的结论，可利用动能守恒的结论。

再有提示中的结论，可得到任意B处的v┴，进而得到v||。

要注意利用题中磁力管很细的结论。

（1）带电粒子沿Z轴做螺旋运动时受到阻力而减速。

设粒子达到磁感强度为B处的速度为v，其垂直和平行于磁场的方向的分速度分别为v┴和v||。

粒子刚从O点射出时，其垂直磁场方向的分速度为v0┴=v0sinα，根据提示，粒子运动过程中，在细“磁力管”的管壁上垂直磁场方向的速度的平方与磁力管轴上的磁场的大小B之比为一常量，即。

因粒子还具有沿轴向的分速度，所以粒子在磁力管中做螺旋运动，由于洛伦兹力f垂直于粒子的速度，对带电粒子不做功，因而粒子在任何点的速度均为v0。

按题设，Z轴上O点右侧磁场B逐渐变大，因而，粒子向右运动过程中，垂直磁场方向的速度v┴随之增大。

平行于磁场方向的速度v||亦随之按下列规律变化：

。

由上式可知，随沿Z轴磁场B的增大，平行于磁场方向的速度v||将随之减少。

轴向速度的减小是因为粒子沿轴向右运动时受到阻力，因磁力管壁的磁场与Z轴不平行，粒子在运动过程中受到的洛伦兹力f斜向指向Z轴，如下图所示，f||是f平行于Z轴的分量，它成为阻碍粒子沿轴向右运动的阻力，f┴是洛仑兹力f垂直于Z轴的分量，它为粒子做螺旋运动提供粒子做圆周运动的向心力，圆周半径为

此式表明螺旋半径随磁场B的增大而减小。

结合v||的表达式的讨论可知，螺旋运动的轴向速度逐渐减小，即螺旋螺距逐渐减小，到达M端时，粒子以半径的圆周运动。

（2）临界投射角

由v||表达式知，以某个投射角α0L发射的粒子到达M点时，其平行磁场方向的速度vm||恰好等于零。

此式表明：

当投射角α=α0L时，粒子恰好在M点轴向速度为零，vmL=v0，即垂直于磁场方向的分速度最大，α0L称为临界投射角，投射角α<

α0L的粒子到达射点时，因轴向速度尚未减至零，这些粒子就从M处逸出，离开磁场区域。

（3）投射角大于临界角α0L发射，即做螺旋运动到达端点M时，因轴向速度为零，粒子在此瞬间停止向右移动，只做圆周运动，但因沿Z轴磁场分布的非均匀性，磁场大小存在变化梯度，因而粒子在M点仍受到向左的作用力，粒子即离开端点M向左做螺旋运动（螺旋的方向不变）。

到达O点时，向左运动的沿轴向速度最大，继续向左运动。

离开0点后，左半程运动的情况与右半程的运动情况相仿，到达左端点M时，轴向速度亦为零，并受到指向O点的洛仑兹力作用，向右运动。

因此，左右M点处，犹如镜面反射一样，粒子在邻近z轴的细磁力管内，在两端面问做螺旋形往复周期运动。

投射角α>

α0L的粒子在未到达M点时，轴向速度已减至零，这些粒子将在小于MM点距离间相对于对称面PP做周期的往复螺旋运动。

投射角愈大，往复运动的距离愈小，当投射角α=900时，粒子不受轴向力，就在对称面PP上以半径r0=mv0/qB做圆周运动。

8．解：

由平面镜成像规律知，P共成五个像，其径向速度大小均为v，切向速度大小分别为±

0ωr、±

2ωr、±

4ωr，由于有切向速度，使像产生一径向加速度，其大小为：

将其分解到运动方向的法向：

各像点速度大小为：

曲率半径为：