全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案Word文件下载.docx

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（4）式也可用下述方法得到：

由

（1）、

（2）式得

.

若，由上式得

.

实际上，也满足上式。

由上式可知

由（3）式有

.（4’）

]

将代入式

（1），并与式

（2）联立，得

.（5）

以为未知量，方程（5）的一个根是，即，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解.于是.约去，方程（5）变为

.（6）

其解为

.（7）

注意到本题中，方程（6）的另一解不合题意，舍去.将（7）式代入

（1）式得，当时，

（8）

考虑到（4）式有

.（9）

评分标准：

本题15分.

（1）式3分，

（2）式3分，（3）式1分，（4）式3分，（5）式1分，（6）式1分，（7）式1分，（9）式2分.

二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动.一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略.一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连.一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为（）处.

1.若碰前滑块A的速度为，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；

2.若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度应满足的条件.

1.由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后A、C、D的速度分别为、、，显然有

.

（1）

以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒

由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒.又由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化.故

由

（1）、

（2）、（3）式解得

（4）

[代替（3）式，可利用弹性碰撞特点

.（3’）

同样可解出（4）.]

设碰撞过程中D对A的作用力为，对A用动量定理有

（5）

方向与方向相反.于是，A对D的作用力为的冲量为

（6）

方向与方向相同.

以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为，则

质心在碰后瞬间的速度为

.（8）

轴与杆的作用时间也为，设轴对杆的作用力为，由质心运动定理有

由此得

.（10）

方向与方向相同.因而，轴受到杆的作用力的冲量为

（11）

方向与方向相反.注意：

因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；

在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴.但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.

[代替（7）-（9）式，可利用对于系统的动量定理

.]

[也可由对质心的角动量定理代替（7）-（9）式.]

2.值得注意的是，

（1）、

（2）、（3）式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的.如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力，即

（12）

则弹簧总保持其长度不变，

（1）、

（2）、（3）式是成立的.由（12）式得碰前滑块A的速度应满足的条件

（13）

可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A的速度大小应满足（13）式.

本题20分.

第1问16分，

（1）式1分，

（2）式2分，（3）式2分，（4）式2分，（5）式2分，（6）式1分，（7）式1分，（8）式1分，（9）式2分，（10）式1分，（11）式1分；

第2问4分，（12）式2分，（13）式2分.

三、（25分）一质量为、长为的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内自由转动.杆在水平状态由静止开始下摆，

1.令表示细杆质量线密度.当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为

式中，为待定的没有单位的纯常数.已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等.由此求出、和的值.

2.已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数的值.

3.试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距点为处的横截面两侧部分的相互作用力.重力加速度大小为.

提示：

如果是的函数，而是的函数，则对的导数为

例如，函数对自变量的导数为

1.当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其动能是独立变量、和的函数，按题意可表示为

式中，为待定常数（单位为1）.令长度、质量和时间的单位分别为、和（它们可视为相互独立的基本单位），则、、和的单位分别为

（2）

在一般情形下，若表示物理量的单位，则物理量可写为

（3）

式中，表示物理量在取单位时的数值.这样，

（1）式可写为

在由

（2）表示的同一单位制下，上式即

（5）

（6）

将

（2）中第四式代入（6）式得

（7）

（2）式并未规定基本单位、和的绝对大小，因而（7）式对于任意大小的、和均成立，于是

（8）

所以

（9）

2.由题意，杆的动能为

（10）

其中，

（11）

注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能为

将（9）、（11）、（12）式代入（10）式得

由此解得

（14）

于是

.（15）

3.以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒

（16）

由（15）、（16）式得

.（17）

以在杆上距点为处的横截面外侧长为的那一段为研究对象，该段质量为，其质心速度为

.（18）

设另一段对该段的切向力为（以增大的方向为正方向），法向（即与截面相垂直的方向）力为（以指向点方向为正向），由质心运动定理得

（19）

（20）

式中，为质心的切向加速度的大小

（21）

而为质心的法向加速度的大小

.（22）

由（19）、（20）、（21）、（22）式解得

（23）

（24）

本题25分.

第1问5分，

（2）式1分，（6）式2分，（7）式1分，（8）式1分；

第2问7分，（10）式1分，（11）式2分，（12）式2分，（14）式2分；

不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；

第3问13分，（16）式1分，（17）式1分，（18）式1分，（19）式2分，（20）式2分，（21）式2分，（22）式2分，（23）式1分，（24）式1分；

不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.

四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成.质量为、带电量为的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）.液滴开始下落时相对于地面的高度为.设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器.忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为.若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势.

设在某一时刻球壳形容器的电量为.以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器G出口自由下落到容器口的过程.根据能量守恒有

.

（1）

式中，为液滴在容器口的速率，是静电力常量.由此得液滴的动能为

从上式可以看出，随着容器电量的增加，落下的液滴在容器口的速率不断变小；

当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势.设容器的最大电量为，则有

容器的最高电势为

（5）

由（4）和（5）式得

本题20分.

（1）式6分，

（2）式2分，（3）式4分，（4）式2分，（5）式3分，（6）式3分.

五、（25分）平行板电容器两极板分别位于的平面内，电容器起初未被充电.整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向，如图所示.

1.在电容器参考系中只存在磁场；

而在以沿y轴正方向的恒定速度（这里表示为沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为0、、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系中，可能既有电场又有磁场.试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系中电场和磁场的表达式.已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.

2.现在让介电常数为的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为，方向沿轴正方向.在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）中，由于液体处在第1问所述的电场中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是，而是，这里是真空的介电常数.这将导致在电容器参考系中电场不再为零.试求电容器参考系中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差.（结果用、、、或（和）表出.）

1.一个带电量为的点电荷在电容器参考系中的速度为，在运动的参考系中的速度为.在参考系中只存在磁场，因此这个点电荷在参考系中所受磁场的作用力为

（1）

在参考系中可能既有电场又有磁场，因此点电荷在参考系中所受电场和磁场的作用力的合力为

两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为

由

（1）、

（2）、（3）式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足

它们对于任意的都成立，故

（5）

可见两参考系中的磁场相同，但在运动的参考系中却出现了沿z方向的匀强电场.

2.现在，电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度匀速运动.电容器参考系中的磁场会在液体参考系中产生由（5）式中第一个方程给出的电场.这个电场会把液体极化，使得液体中的电场为

.（6）

为了求出电容器参考系中的电场，我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的变换，从液体参考系中的电场和磁场来确定电容器参考系中的电场和磁场.考虑一带电量为的点电荷在