届湖南省邵阳市高三学业水平考试模拟考试数学试题Word版含答案Word文档格式.docx

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【答案】A

【解析】由题意可得：

本题选择A选项.

4．某校有学生1500名，其中高二年级500，打算从全校学生中抽取一个容量为30的样本，若考虑用分层抽样，则高二年级应抽取

A.30人B.20人C.10人D.5人

【答案】C

【解析】根据分层抽样的特征，可得高二年级应抽取人.

本题选择C选项.

点睛：

分层抽样的特点：

适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；

分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

5．圆的圆心坐标为

【解析】由圆的一般方程可得圆心坐标为，即.

6．已知实数满足约束条件则的最大值为

A.1B.0C.D.2

【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中：

作直线上下平移，

当直线经过点）时，目标函数取得最大值

求线性目标函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；

当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

7．已知则向量与的夹角为

【解析】由,得，

又，向量与的夹角.

8．函数的零点为

A.1B.0C.D.

【解析】函数的零点即相应方程的根.由得,

函数的零点为.

9．在长为3的线段上任取一点，到端点的距离都大于1的概率为

【解析】由题知，所在的线段长为，则所求概率为.

解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；

当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比．

10．若的内角A，B，C的对边为满足则角A的大小为

【解析】由余弦定理得,又，.

二、填空题

11．函数的最小正周期为________________.

【答案】

【解析】由周期公式可得函数的最小正周期为.

12．函数的定义域为_________________.

【解析】由得，

则函数的定义域为.

13．在中则的面积为_____________.

【答案】3

【解析】.

14．若一个圆锥的三视图如图所示，则该圆锥的体积为______________.

【解析】由三视图可知该圆锥的底面半径为，

高为.

则该圆锥的体积为.

（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；

（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

15．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为________.

【答案】123

【解析】模拟程序运行，可得：

，

满足循环条件，执行循环体，，

不满足循环条件，结束循环，输出的结果为.

三、解答题

16．在等差数列中

（1）求数列的通项公式；

（2）设求数列的前5项和.

（1）；

（2）62.

【解析】试题分析：

（1）由题意求得数列的公差为1，据此可得数列的通项公式为；

（2）由等比数列求和公式可得求数列的前5项和是62.

试题解析：

（1）∵∴∴

∴.

（2）∵

∴

即数列的前5项和为62.

17．如图所示，已知直三棱柱中为的中点交于点

（1）证明：

直线平面；

（2）求异面直线与所成角的大小.

（1）证明见解析；

（2）60°

（1）由题意可证得结合线面平行的判断定理即可证得直线平面；

（2）由题意作出异面直线所成的角，结合空间几何体的结构特征可得异面直线与所成角的大小是60°

（1）∵分别为的中点，

∴又

（2）∵∴即为异面直线与所成的角或补角，连接BE，

∵⊥

∴△为等边三角形，∴

即异面直线所成的角为.

（1）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：

平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：

证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：

求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：

由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

18．某校从参加邵阳市数学竞赛的学生中随机抽取20名学生的数学成绩（均为整数）整理后分成六画出如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求这20名学生中分数在内的人数；

（2）若从成绩大于或等于80分的学生中随机抽取2人，求恰有1名学生成绩在区间内的概率.

（1）7人；

（2）.

（1）由题意首先求得频率值，然后整理计算可得这20名学生中分数在内的人数是7人；

（2）列出所有可能的事件，由古典概型公式可得恰有1名学生成绩在区间内的概率是.

（1）1-0.1-0.15-0.15-0.20-0.05=1-0.65=0.35，0.3520=7，

∴分数在[70，80）内的学生人数为7人.

（2）∵0.20+0.05=0.25，0.2520=5，

∴分数大于或等于80分的学生人数有5人，（其中[90，100]内的学生有1人）.

设这5人分别为则从中选2人有共10中情形，其中恰有1名学生成绩在[90，100]内的有4种情形，

∴恰有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率为.

19．已知函数

（1）求的单调递增区间；

（2）恒有成立，求实数的取值范围.

（1）整理函数的解析式为则的单调递增区间是.

（2）由题意得到关于实数m的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.

（1）∵

当即

即时单调递增，

∴的单调递增区间为.

（2）∵∴∴

由得

∴∴即.

20．已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求的解析式；

（2）证明：

函数在定义域上是增函数；

（3）设是否存在正实数使得函数在内的最小值为？

若存在，求出的值；

若存在，请说明理由.

（2）证明见解析；

（3）存在使函数在内的最小值为.

（1）由题意求得实数a,b的值，则；

（2）由单调性的定义证明函数的单调性即可；

（3）结合函数的解析式分类讨论可得存在使函数在内的最小值为.

（1）∵∴又∴

（2）设为区间内的任意两个自变量，且

则==

∵∴

又∵∴∴

即∴在上为增函数.

（3）由

（2）知在内为增函数，∴

令则.

①当时上单调递减

解得矛盾，舍去；

②当时

解得时取等号；

③当时在上单调递增

解得矛盾，舍去.

所以存在使函数在内的最小值为.

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立．

关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．