《现代控制理论基础》考试题B卷及答案文档格式.docx
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（1）求系统的脉冲传递函数：
（2）分析系统的稳定性；
（3）取状态变量为xl（k）=y伙），花伙）=召伙+1）-厂伙），求系统的状态空间表达式;
（4）分析系统的状态能观性。
【解答】
（1）在零初始条件下进行z变换有：
（F+5z+3）Y（z）=（Z+2）R⑵
系统的脉冲传递函数：
竺=严2
R⑵z~+5z+3
（2）系统的特征方程为
D⑵=，+5z+3=0
特征根为召=-4.3,6=-0.7,\z{\>
1,所以离散系统不稳定。
（3）由召伙）=y伙），x2（k）=xl伙+1）-厂伙），可以得到
x2伙+1）=xx伙+2）-r（k+1）=y（k+2）-r（k+1）
由已知得
y（k+2）-r（k+1）=2r（k）-5y（k+1）-3y（k）=2r（k）-5易伙+1）-3旺（k）
=2r（k）-5[x2（k）+r（k）]-3xl伙）=一3召伙）一5^2伙）一3/*伙）
于是有：
x2（k+1）=一3召伙）-5x,伙）一3厂伙）
又因为
召伙+1）=厂伙）+尸伙）
所以状态空间表达式为
（4）系统矩阵为
G=°
"
输出矩阵为c=[10],cG=[l0]°
1=[0
_3—5_3—5
能观性矩阵为0=:
gt；
，rank2o=2»
系统完全能观。
3.（本题满分10分）
（1）简述线性系统的对偶原理；
（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；
（3）厂输入厂输岀厂+2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统?
（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。
（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。
当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。
（3）厂输入，•输出厂+2阶线性解耦系统等效于，•个独立的单输入单输出系统。
4.（本题满分10分）
=xi-x1cos
设有一个2阶非线性系统，其状态方程为［・判断该系统在坐标
［x2=x2
原点处的稳定性，并证明你的判断。
【解】此系统在坐标原点处不稳定。
【证明】
取李雅普诺夫函数叽小=彳+用，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：
V（x）=2x,x,+2x2x2=2xj（x,—x2cosx2）+2x；
=2xf-2x{x2cosx2+2x；
）+2x1=2X；
-X{X2COS*2+土X；
COS2x2j+
2Xy--x；
cos2
・2・・
=2（x：
-x1x2cosx2
显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。
5.（本题满分10分）
设某控制系统的模拟结构图如下,
试判断系统的能控性、能观性和稳定性。
【解答】
根据模拟结构图可得状态空间表达式
fxj=-2xj+3x2+m
I-u
y=x\
6.（本题满分10分）
某系统的状态空间表达式为
设全维观测器方程为
-6-72
观测器特征多项式为
AI—
L—«
>
=
1-6-7,
—1兄+6+/、
det<
=A2+（6+/2）A+/1
观测器期望特征多项式为
（兄+10）'
=几2+20兄+ioo
根据多项式恒等的条件得
•6+厶=20
£
=100
/,=100
解得”=14，全维状态观测器方程为
0-1001-20
7.（本题满分10分）
证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。
【证明】设原线性系统为
x=Ax+Bu
y=Cx+Du
其特征方程为det（5Z-A）=0
设线性变换为x=Tz,变换后的线性系统为
z=T-ATz+TlBu
y=CTz+Du
该系统的特征方程为
det（5/-T_,4T）=0
写成
det（5T-,T-T-|AT）=0
det[r_,（5Z-A）T]=0
det（T_1）det（5/-A）det（T）=0
det（厂'
）det（T）det（5/-A）=0
det（r-1T）det（5/-A）=0
det（Z）det（5Z-A）=0
det（5/-A）=0
证毕
显然，其特征方程保持不变。
8.（本题满分io分）
开环系统的结构如图所示：
试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间-=5.65秒（A=0.02）,超调量为刁=4.32%,其中一个闭环特征值为一5。
求状态反馈控制律的数学表达式。
【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：
写成状态空间表达式为
x2=一5x>
+5x3x3=-x3+2w
「0
1
0_
_0_
•
X=
-5
5
X+
<
-1
2
y=[l
0]兀
即
U
闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间『$=5.65秒（△=0.02）,可得:
4y
心==5.65,阿匕0.707,
超调量为刃之匠7=4.32%，解得0.707,所以©
严1。
期望闭环特征多项式为
（s+5）（£
+2：
©
$+研卜（$+5）（"
+>
/^$+1）
（5+a/2）52+（1+5^）5+5
f\s）=s-+
设状态反馈控制律为"
=[«
k2k3]xf代入可得闭环系统的状态方程
2k2
2k.-1
闭环特征多项式为
/
100_
■010
\
050
—
0-55
X
_00S
2k\2k22k3-1
f（s）=det（sZ-4）=det
-5=?
+（6-2/r3）?
+（5-10^-10^）5-10^
s—2kq+1
6-2^=5+72=6.414
根据多项式恒等条件可得：
5-10£
-必=1+5©
=8.07-10k,=5
=-0.5解得：
\k2=~°
A,状态反馈控制律为
^=-0.207
u=[k]k2k3]x=-0.5%,一0.1花一0.207x3。
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