专题9 函数与方程 学年高一数学必修1考点复习总结与配套练习.docx
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专题9函数与方程学年高一数学必修1考点复习总结与配套练习
专题9函数与方程-2018-2019学年高一数学必修1考点复习总结与配套练习
考点53
函数的零点
考点54
零点个数的判定
考点55
二分法
考点56
一元二次方程根的分布
考点57
用二分法求近似解
考点58
分段函数的的应用
考点59
一次函数、二次函数的应用
考点60
函数模型的选择与应用
考点53函数的零点
1．函数的零点
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
【例】求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2的零点个数．
【解析】解法一：
∵f（0）＝1＋0－2＝－1<0，f
（2）＝4＋lg3－2>0，由零点存在性定理，f（x）在（0,2）上存在实根又f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（0，＋∞）为增函数，故f（x）有且只有一个零点．
解法二：
（数形结合）在同一坐标系中作出g（x）＝2－2x和h（x）＝lg（x＋1）的图象（如图所示），由图象可知有且只有一个交点，即函数f（x）有且只有一个零点．
1．下列函数没有零点的是
A．f（x）＝0B．f（x）＝2
C．f（x）＝x2－1D．f（x）＝x－
【答案】B
【解析】函数f（x）＝2，不能满足方程f（x）＝0，因此没有零点．
2．若y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是
A．若f（a）·f（b）<0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
B．若f（a）·f（b）<0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
C．若f（a）·f（b）>0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
D．若f（a）·f（b）>0，有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
【答案】D
【解析】由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B，可通过反例“f（x）＝x（x－1）（x＋1）在区间[－2，2]上满足f（－2）·f
（2）<0，但其存在三个零点：
－1，0，1”推翻；选项C可通过反例“f（x）＝（x－1）·（x＋1）在区间[－2,2]上满足f（－2）·f
（2）>0，但其存在两个零点：
－1，1”推翻．
【解题技巧】确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点的存在性定理：
首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0．若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．
（2）数形结合法：
通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
3．下列图象表示的函数中没有零点的是．
【答案】A
【解析】B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
4．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）＝ex－x－2的一个零点所在的区间是．
x
－1
0
1
2
3
ex
0．37
1
2．72
7．39
20．09
x＋2
1
2
3
4
5
A．（－1，0）B．（0，1）
C．（1，2）D．（2，3）
【答案】C
【思路归纳】确定函数的零点（方程的根）是否在区间（a,b）时，通常利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号．
（1）先求f（a），f（b）；
（2）判断f（a）f（b）的符号；（3）若f（a）f（b）<0,则零点在区间内，否则，不在区间内。
5．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点是–3，则它的另一个零点是
A．–1B．1
C．–2D．2
【答案】B
【解析】设另一个零点是x，由根与系数的关系得–3+x=–=–2，所以x=1．即另一个零点是1，故选B．
【易错易混】利用根与系数的关系，一定要注意符号的变化．
6．已知是函数的一个零点．若，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
1．函数f（x）＝lnx－的零点所在的大致区间是
A．（0，1）B．（1，2）
C．（2，e）D．（3，4）
【答案】C
【解析】f
（2）＝ln2－＝ln2－1<0，f（e）＝lne－＝1－>0，f
（2）·f（e）<0，故选C．
2．已知函数f（x）＝－log2x．在下列区间中，包含f（x）零点的区间是
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,4）D．（4，＋∞）
【答案】C
【解析】因为f
（1）＝6－log21＝6>0，f
（2）＝3－log22＝2>0，f（4）＝－log24＝－<0，
所以函数f（x）的零点所在区间为（2，4），故选C．
3．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表
x
1
2
3
4
5
6
7
f（x）
136．136
15．552
－3．92
10．88
－52．488
－232．064
11．238
由表可知函数f（x）存在零点的区间有
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】D
【解析】∵f
（2）f（3）<0，f（3）f（4）<0，f（4）f（5）<0，f（6）f（7）<0，∴共有4个零点．
4．求下列函数的零点．
（1）y＝－x2＋x＋6；
（2）y＝（x2－2）（x2－3x＋2）．
【答案】
（1）－2,3；
（2）－，，1,2．
足球比赛的跌宕起伏
据新华社体育记者报道：
昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程（领先则喜，落后即悲）．
请问：
整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?
答案是三次:
（1）开场;
（2）由领先到落后必经过“比分相同”时段;（3）由落后到领先必经过“平分”时段．
考点54零点个数的判定
要确定零点个数要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意函数的定义域．
【例】函数f（x）＝x2－2x的零点个数．
A．3B．2
C．1D．0
【答案】A
【解析】由y＝x2与y＝2x的图象知零点个数为3个，故选A．
【解题技巧】将函数零点问题转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
1．方程0．9x－x＝0的实数解的个数是
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】B
【解析】设f（x）＝0．9x－x，则f（x）为减函数，值域为R，故有1个．
2．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且在（0，＋∞）内的零点有1003个，则f（x）的零点的个数为
A．1003B．1004
C．2006D．2007
【答案】D
3．函数f（x）=的零点是．
【答案】–2
【解析】本题易认为函数的零点有两个，即由x2–4=0求出x=±2，事实上x=2不在函数的定义域内．
【易错易混】解答本题易误认为x=2也是函数f（x）的零点，导致出现这种错误的原因是忽略了函数f（x）的定义域．
4．函数f（x）＝的零点个数为
A．0B．1
C．2D．3
【答案】D
【解析】依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f（x）有3个零点．故选D．
【解题技巧】判定函数零点个数的方法：
①一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．
②一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．
③指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．
④利用函数的单调性判断函数零点的个数
5．函数g（x）=x2+a存在零点，则a的取值范围是
A．a>0B．a≤0
C．a≥0D．a<0
【答案】B
【解析】函数g（x）=x2+a存在零点，则x2=–a有解，所以a≤0．
6．已知函数f（x）＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．
1．函数f（x）=x2（x–1）（x+1）的零点个数是
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【解析】令f（x）=0得x2（x–1）（x+1）=0得x=0或x=1或x=–1，故f（x）有3个零点．
2．函数f（x）＝的零点个数为________．
【答案】2
【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－；当x>0时，f（x）＝2x－6＋lnx，
因为f′（x）＝2＋>0，所以函数f（x）＝2x－6＋lnx在（0，＋∞）上单调递增，
因为f
（1）＝2－6＋ln1＝－4<0，f（3）＝ln3>0，
所以函数f（x）＝2x－6＋lnx在（0，＋∞）上有且只有一个零点．
综上所述，函数f（x）的零点个数为2．
3．已知函数f（x）＝其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【答案】（3，＋∞）
【解析】如图，
当x≤m时，f（x）＝|x|．
当x>m时，f（x）＝x2－2mx＋4m，在（m，＋∞）为增函数．
若存在实数b，使方程f（x）＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m<|m|．
∵m>0，
∴m2－3m>0，解得m>3．
4．已知函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2，求：
（1）函数f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）在定义域内为增函数；
（3）求函数f（x）的零点所在的大致区间，并求出零点的个数．
【答案】
（1）（－1，＋∞）；
（2）证明见解析；（3）（0,1），1
（3）因为f（0）＝－1，f
（1）＝lg2>0，
所以f（0）f
（1）<0．
所以函数f（x）的零点所在的区间为（0,1），
又因为函数f（x）在定义域内为增函数，
所以函数f（x）的零点只有一个．
上山下山
John是一个登山爱好者．星期一早晨7点他从山脚出发，沿着小路登上了山顶，到达山顶正好是晚上7点．他于第二天早上七点沿原路返回，晚上七点到达山脚．
在山脚他遇到了好朋友Tom，Tom对他说：
你昨天上山和今天下山时，一定有同一时刻处在同一地点．John反驳道：
“不可能，我中途还吃了零食，休息了片刻，和上山的速度根本不一样．”Tom说：
“你错了．仔细想想，一定是存在这一时刻的．”
你想出来了吗？
考点55二分法
二分法的概念:
对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
【例】用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0．001，则结束计算的条件是
A．|a－b|<0．1B．|a－b|<0．001
C．|a－b|>0．001D．|a－b|＝0．001
【答案】B
【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
【思路归纳】这类题的步骤简记如下：
（1）定区间，
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