微分几何第四版习题答案梅向明Word下载.docx
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r={asincos
asinsin
acos},r={acossin,acoscos,0}
yacossin
sin
zasin
任意点的切平面方程为
asin
cos
acos
即xcoscos+ycos
+zsin
-a=0
法线方程为xacoscos
y
acossin
acoscos
x
cossin
2
z
o
4.求椭圆柱面务
a
占1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个
b
切平面。
岭1的参数方程为x=cos,y=asin,z=t,r{asin,bcos,0},
rt｛0,0,1｝。
所以切平面方程为:
xacosybsinzt
0，即xbcos+yasin—ab=0
asinbcos0
001
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面
3
5.证明曲面r{u,v,—}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
uv
证ru{1,0,斗
uv
rv{0,1,旦T。
切平面方程为:
与三坐标轴的交点分别为
（3u,0,0）,（0,3v,0）,（0,0,
宜）。
于是，四面体的体积为:
13a39
V—3|u|3|v|——-a
6|uv|2
3是常数。
2曲面的第一基本形式
1.
求双曲抛物面r=
ru{a,b,2v},rv
{a（u+v）,b（u-v）,2uv}
{a,b,2u},Eru2a2b2
的第一基本形式.
4v2,
Fru
rva2b24uv,Grv2a2b24u2,
222222
（ab4v）du2（ab4uv）dudv（
a2b2
22
4u）dv。
2.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式,
并证明坐标曲线互相垂直。
ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},Eru21,
Frurv
0,Grv2u2b2,
du2（u2b2）dv2,TF=0,.・.坐标曲线互相垂直。
.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v
的曲线的弧长。
QQQQ
由条件dsdusinhudv,沿曲线u=v有du=dv
将其代入ds2得
ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2，ds=coshvdv,在曲线u=v上,
从W到v2的弧长为
|coshvdv||sinhv2sinhv1|。
v1
4.设曲面的第一基本形式为I=du2（u2
a2）dv2，求它上面两条曲线u+v=0,u-v=
0的交角。
即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1,Fv0,Gu2a2，曲线u+v=
0与u-V=0的交点为u=0,V=0,交点处的第一类基本量为E1,Fv0,Ga2。
曲线u
+V=0的方向为du=-dv,u-V=0
的方向为Su=Sv,设两曲线的夹角为
，则有
EduuGdvu
cos二_
Tidu__GdZTFu^__GV
1a2
5.求曲面z=axy上坐标曲线x=x
0,y=y的交角.
解曲面的向量表示为r={x,y,axy}.
坐标曲线x=x0的向量表示为r={x0,y,ax0y}，其
切向量ry={0,1,axo};
坐标曲线y=y的向量表示为r={x,yo,axy。
}，其切向量4={1,0,
ay。
}，设两曲线x=x0与y=y。
的夹角为，则有cos
rxry
|rx||ry|
aX0y0
~2~2
ay。
a2xo
6.求u-曲线和V-曲线的正交轨线的方程.
解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为Su:
SV,则有
EduSu+F（duSV+dvSu）+GdvSv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为ESu+FSV=0.
同理可得V-曲线的正交轨线的微分方程为FSu+GSV=0.
7.在曲面上一点,含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,确定两个切方向（du:
dv）和（Su:
Sv）,证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.
证明因为du,dv不同时为零,
假定dv
0,则所给二次方程可写成为P（为2+
设其二根屯
dv
L,duu、F（匕^+上）+
dvV
则屯上=RdvVP
竺+上=dvv
2Q
……①又根据二方向垂直的条件知
P
2Q^+R=0,dv
E竺丄+dvV
……②
将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.
8.
证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.
用分别用S、、d表示沿u-曲线，V—曲线及其二等分角线的微分符号,
即沿u-曲
0,SV=0,沿V—曲线u=0,V0.沿二等分角轨线方向为du:
dv,根据题
设条件，又交角公式得
（EduVFdvu）2（FduvGdvv）2日仃（EduFdv）2
-22I22，即
Euds
Gv2ds2
（FduGdv）2
展开并化简得E（EG-F2）du2=G（EG-F2）dv2,而EG-F2>
0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的
微分方程为Edu2=Gdv2.
9.设曲面的第一基本形式为
du2（u2
a2）dv2，求曲面上三条曲线u=
的三角形的面积。
解三曲线在平面上的图形（如图）所示。
形的面积是
01
S=Ju2a2dudv
au
1
adudv
u
v=1相交所成
av,
线围城的三角
a
=2Ju2
1
a2dudv=2（1
u）Ju2a2
du
=[右（u2
3a
a2）2
uJu2
a2a2ln（u
Vu2
2]a
a）]|0
=a
ln（1
血）］。
10.
求球面r={acossin
acossin
asin
}的面积。
E=r2
11.
r={asincos,asinsin,acos
2Lc222
=a,F=rr=0,G=r=acos
2
2dJa4cos2d2a22cos
202
证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}
（t>
1,0<
<
2）之间可建立等距映射
分析根据等距对应的充分条件
r={acossin
.球面的面积为:
2a2sin|24a2.
和旋转曲面r={tcos,tsin
acoscos,0}
rt21}
=arctgu+v,t=Ju21.
要证以上两曲面可建立等距映射
=arctgu+v,
t=Vu21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证
明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式.
I=（1—dt2
证明螺面的第一基本形式为I=2du2+2dudv+（u2+1）dv2,旋转曲面的第一基本形式为
t2d,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu+v,t=Ju21,则其第一基
=（J1）du2
本形式为:
-^-^du22dudv（u21）dv2=2du2+2dudv+（u2+1）dv2=I.1u
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射
=arctgu+v,t=Ju21.
L=coshu
Jsinh2_1
2.计算抛物面在原点的
解曲面的向量表示为r
{x1,x2,-x22X1X2x|},
3曲面的第二基本形式
1.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}
ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0}.
2222
rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},E1%=coshu,F45=0,Gr^=coshu.
所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.
rr1
n=u丄—={coshucosv,coshusinv,sinhusinv},
TEG—coshu
1=dx；
dx；
ll=5dx2
4dx1dx22dx2.
X2
rx1{1,0,5x12X2}（0,0）{1,0,0},rx2{0,,2x12X2}（0,0）{O,1,。
},rx,x1{O,0,5},
2X2
rx1X2{0,0,2},rx2X2{0,0,2},E=1,F=0,
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