微分几何第四版习题答案梅向明Word下载.docx

1、r = a sin cos,a sin sin,acos , r = a cos sin ,acos cos ,0y a cos sinsinz a sin任意点的切平面方程为asi ncosa cos即 xcos cos + ycos+ zsi n-a = 0法线方程为 x acos cosya cos sina cos cosxcos sin2zo4.求椭圆柱面务a占1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个b切平面。岭 1 的参数方程为 x = cos , y = asi n , z = t , r as in ,bcos ,0,rt 0,0,1。所以切平面方程为:x

2、a cos y bsin z t0，即 x bcos + y asin a b = 0asi n bcos 00 0 1此方程与t无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值对应一条直母线, 说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面35.证明曲面r u,v,的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。uv证 ru 1,0,斗u vrv 0,1,旦T。切平面方程为:与三坐标轴的交点分别为（3u,0,0）,（0,3v,0）,（0,0,宜）。于是，四面体的体积为:1 3a3 9V 3|u|3|v|-a6 |uv| 23是常数。 2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r =ru

3、a,b,2v, rv a （u+v） , b （u-v ） ,2uv a, b,2u, E ru2 a2 b2的第一基本形式.4v2,F rurv a2 b2 4uv,G rv2 a2 b2 4u2,2 2 2 2 2 2（a b 4v ）du 2（a b 4uv）dudv （a2 b22 24u ）dv 。2 .求正螺面r = u cosv ,u sinv, bv 的第一基本形式,并证明坐标曲线互相垂直。ru cos v, sin v,0, rv u sin v, u cosv, b , E ru2 1,F ru rv0 , G rv2 u2 b2 ,du2 （u2 b2）dv2 ,TF=0

4、,.坐标曲线互相垂直。.在第一基本形式为I = du2 sinh2 udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。Q Q Q Q由条件ds du sinh udv ,沿曲线 u = v有 du=dv,将其代入ds2得ds2 du2 sinh2 udv2 = cosh2 vdv2， ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上,从W到v2的弧长为| coshvdv| |sinh v2 sinhv1 |。v14.设曲面的第一基本形式为I = du2 （u2a2）dv2，求它上面两条曲线 u + v = 0 ,u - v =0的交角。即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面分析由于曲面上

5、曲线的交角是曲线的内蕴量, 的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E 1 , Fv 0 , G u2 a2，曲线u + v =0与u -V = 0的交点为u = 0, V = 0, 交点处的第一类基本量为 E 1 , Fv 0 , G a2。曲线u+ V = 0 的方向为 du = -dv , u - V = 0的方向为S u=S v ,设两曲线的夹角为，则有Edu u Gdv ucos 二 _Tidu_GdZTFu_GV1 a25.求曲面z = axy上坐标曲线x = x0 ,y = y的交角.解曲面的向量表示为r=x,y,axy.坐标曲线x =

6、x 0的向量表示为r = x 0,y,ax 0y ，其切向量ry=0 , 1, axo;坐标曲线y = y的向量表示为r =x , yo,ax y。，其切向量4=1 , 0,ay。，设两曲线x = x 0与y = y。的夹角为，则有cosrx ry|rx|ry |a X0y0 22a y。a2xo6.求u-曲线和V-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为S u: S V ,则有EduS u + F（du S V + dv S u）+ G d v S v = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分 方程为 ES u + F S V = 0 .同

7、理可得V-曲线的正交轨线的微分方程为 FS u + G S V = 0 .7.在曲面上一点,含du ,dv的二次方程Pdu2 + 2Q dudv + Rdv2 =0,确定两个切方向（du : dv）和（S u :S v）,证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ + GP=0.证明因为du,dv不同时为零,假定dv0,则所给二次方程可写成为P（为2 +设其二根屯dvL, du u、 F（匕 +上）+dv V则屯上=R dv V P竺+上= dv v2Q又根据二方向垂直的条件知P2Q + R=0, dvE竺丄+ dv V将代入则得ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的

8、二等分角线的微分方程为 Edu2 =Gdv2.用分别用S、 、d表示沿u-曲线，V 曲线及其二等分角线的微分符号,即沿 u-曲0,S V =0,沿V曲线 u=0, V 0 .沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件，又交角公式得（Edu V Fdv u）2 （Fdu v Gdv v）2 日仃（Edu Fdv）2- 2 2 I 2 2 ，即E u dsG v2ds2（Fdu Gdv）2展开并化简得E（EG-F2） du2=G（EG-F2） dv2,而EG-F 20,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.9.设曲面的第一基本形式为du2 （u2a2）dv2，求

9、曲面上三条曲线u =的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形（如图）所示。 形的面积是0 1S= Ju2 a2du dva u1a du dvuv =1相交所成av,线围城的三角a =2 Ju2 1a2 du dv =2 （1u）Ju2 a2du=右（u23aa2）2uJ u2a2 a2 ln（uVu22 aa ） |0=aln（1血）。10.求球面 r = a cos sin,a cos sin,asin的面积。E = r211.r = a sin cos , asin sin ,acos2 L c 2 2 2=a ,F= r r = 0 , G = r = a cos2 2 d Ja4 co

10、s2 d 2 a2 2 cos2 0 2证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v（t1, 0 2 ）之间可建立等距映射分析根据等距对应的充分条件r = a cos sin.球面的面积为:2 a2 sin |2 4 a2.和旋转曲面r=tcos ,tsin,a cos cos ,0rt2 1=arctgu + v , t= Ju2 1 .,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu + v ,t= Vu2 1 ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数 ，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式.I= （1 dt2证明 螺面的第一基本形式为 I=2 d

11、u2 +2 dudv+（ u2 +1） dv2,旋转曲面的第一基本形式为t2d ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t = Ju2 1 ,则其第一基=（J 1）du2本形式为:-du2 2dudv （u2 1）dv2=2du2+2 dudv+（ u2+1） dv2= I . 1 u所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t = Ju2 1 .L= coshuJsinh2_12.计算抛物面在原点的解曲面的向量表示为rx1,x2,- x2 2X1X2 x|, 3曲面的第二基本形式1.计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u 的第一基本形

12、式,第二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1, rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0, ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0.2 2 2 2rvv =-coshucosv,-coshusinv,0, E 1% = cosh u, F 4 5=0, G r =cosh u.所以 I = cosh 2u du2+ cosh 2 udv2 .r r 1n= u 丄= cosh u cosv, cosh u s in v, s in hus inv,TEGcosh u1= dx； dx；,ll= 5dx24dx1dx2 2dx2.X2rx1 1,0,5x1 2X2（0,0） 1,0,0 , rx2 0,2x1 2X2 （0,0） O,1,。 , rx,x1 O,0,5,2X2rx1X2 0,0,2 , rx2X2 0,0,2 , E = 1, F = 0 ,