精品最小二乘曲线拟合及MATLAB实现测绘专业本科毕业论文设计.docx

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精品最小二乘曲线拟合及MATLAB实现测绘专业本科毕业论文设计

内蒙古科技大学

本科生毕业设计说明书（毕业论文）

题目：

最小二乘曲线拟合及MATLAB实现

专业：

测绘工程

班级：

2009测绘2班

最小二乘曲线拟合及MATLAB实现

摘要

介绍曲线拟合的基本理论，对最小二乘原理进行了全方位的理论阐述，同时也阐述了曲线拟合的基本原理及多项式曲线拟合模型的建立。

详细的解答了曲线拟合中的最小二乘法，并介绍了部分的正交最小二乘法理论。

重点讲解多项式拟合的具体步骤，同时也介绍了非线性方程的最小二乘拟合，在建立理论的基础上对最小二乘曲线拟合法的MATLAB实现方法进行研究，利用MATLAB2012b的平台对测量数据进行最小二乘曲线拟合，介绍MATLAB的具体构造和曲线拟合工具。

利用MATLAB中的ployfit函数对实测数据进行多项式曲线拟合，并给出曲线拟合MATLAB实现的源程序，给出拟合曲线，并评定拟合的精度证明该方法是行之有效的。

关键词：

最小二乘法，曲线拟合，MATLAB，测量数据

CurveFittinginLeast-SquareMethod

andItsRealizationwithMatlab

Abstract

Tointroducethebasictheoryofcurvefittinganddiscusstheleastsquaresprincipleinthispaper,what’smore,wealsodiscussthebasicprincipleofcurvefittingandtheestablishmentofpolynomialcurvefittingmodel.Meanwhile,wealsointroducetheleast-squaremethodofcurvefittingindetailandpartofthetheoryoforthogonalleastsquaremethod.Wemainlydiscussthespecificstepsofpolynomialfitting,andalsointroducesthenonlinearequationoftheleastsquaresfittingatthesametime,whichestablishedonthetheoryofleastsquarescurvefittinginMATLABinordertorealizethemethodtodoresearch.UsingMATLAB2012bplatformtoachievethegoalofmeasuringdataandintroducingthespecialstructureofMATLABandcurvefittingtool.WecanuseployfitfunctioninMATLABtopolynomialcurvefittingofexperimentaldata,andgettheMATLABsourceprogramaboutcurvefittingandthefittingcurve.Finally,weneedtoprovethemethodofassessingtheprecisionofthefittingiseffective.

Keywords:

leastsquaremethod;curvefitting;MATLAB,metricaldata

最小二乘曲线拟合及MATLAB实现I

摘要I

CurveFittinginLeast-SquareMethodandItsRealizationwithMatlabII

AbstractII

第一章引言1

1.1研究背景1

1.1.1历史理论原理1

1.1.2现代研究1

1.2问题定义2

1.2.1曲线拟合的思想2

1.2.2多项式拟合3

1.2.3利用Matlab的polyfit函数进行多项式拟合3

1.3论文结构3

第二章数据曲线拟合4

2.1测量数据4

2.2拟合模型4

2.3最小二乘原理5

2.3.1最小二乘法5

2.3.2最小二乘估计与极大似然估计7

2.4数据拟合9

2.4.1曲线拟合理论9

2.4.2最小二乘法线性拟合原理10

2.4.3最小二乘非线性拟合12

2.4.4正交多项式13

2.4.5正交最小二乘曲线拟合15

2.5曲线拟合精度评定17

第三章MATLAB19

3.1MATLAB概述19

3.1.1MATLAB简介19

3.1.2MATLAB的主要组成部分21

3.2MATLAB2012b的运行简介23

3.2.1启动和退出MATLAB2012b23

3.2.2MATLAB2012b桌面系统24

3.2.3MATLAB函数调用系统26

3.2.4MATLAB2012b的帮助系统27

3.2.5附件管理系统28

3.2.6数据交换系统28

3.2.7MATLAB中的其他系统29

3.3最小二乘曲线拟合法的MATLAB实现30

第四章最小二乘法曲线拟合的MATLAB实现32

4.1使用polyfit函数实现多项式拟合32

4.2二次多项式的曲线拟合33

4.3三次多项式的曲线拟合34

4.4四次多项式曲线拟合35

4.5数据处理和精度评定36

第五章总结40

参考文献41

附录1：

43

MATLAB语言编程源代码43

附录2：

45

各次拟合的拟合曲线方程45

致谢46

外文翻译47

外文部分47

翻译部分54

第一章引言

1.1研究背景

1.1.1历史理论原理

Weierstrass第一逼近定理[1]

对任意函数和任意给定的,都存在n次代数多项式，满足

（1-1-1）

Bernstein多项式（bernsteinpolynomial）[1]

前苏联数学家Bernstein曾经给出这样的多项式序列：

（1-1-2）

在整体上一致逼近，但它的收敛缓慢，要达到一定的精度，则n要取很大，计算量大，所以研究如何在给定的精度下，对进行整体逼近，成为逼近论中的一个重要问题。

1.1.2现代研究

曲线拟合问题是诸多试验和工程实际中广泛应用的数据处理方法。

试验数据的正确处理，关系到是否能达到试验目的，得出明确结论。

传统的数据处理方法，很难得到一条很好适应所有点的曲线，同时也无法估计所得曲线的精度，由此所确定的特征值就可能有较大的误差，且没有建立起由这些点构成曲线的数学模型，直接影响利用数学方法进行解析分析。

在进行试验数据的分析时，通常可采用曲线拟合法寻找一条光滑曲线，曲线在某种准则下最佳的拟合数据。

测量工作中，通常根据测定的一系列坐标点，选取一定的数学模型拟合直线、二次曲线或者其他高次曲线。

拟合的目的是根据测量点寻求曲线的特征，求解曲线的相关参数，为工程建设管理提供必要的基础信息。

如在既有铁路工程、又有公路工程测量中，通常根据一系列的测量点和线路工程的特点求解线路工程的线性特征，为线路维护养护、二线工程建设、行车安全分析等提供必要的基础信息。

在GIS数据获取中，通常根据一系列的实际测量点或者是地图数字化点拟合道路、水系、等高线、等曲线。

这类问题的做法通常是根据线形的特点选取一定的数学模型，以待求的线形参数作为未知参数，以测点的纵坐标或者横坐标为观测值，采用最小二乘法处理。

在测量中获取的数据均为随机数据，它们是由一些离散的数据组成，单就获得的原始数据本身来说根本反映不出事物的本质。

如何从这些离散的数据中找出观测数据的变化规律？

在实际中传统的数据处理方法，很难得到一条很好地适应所有点的曲线，同时也无法估计所得曲线的精度，且没有建立起由这些点构成曲线的数学模型，直接影响到利用数学方法进行解析分析。

用Matlab进行数据拟合可以形象直观地发现所有数据体现出来的规律性。

在进行分析时，通常可采用曲线拟合法，曲线拟合法的目的是寻找一条光滑曲线，即对观测的几个变量进行多次观测从而求出反映变量之间的相对函数关系，它在某种准则下最佳的拟合数据。

1.2问题定义

本文介绍最小二乘曲线拟合法的基本原理，就其MATLAB的实现方法进行研究，给出曲线拟合MATLAB的实现方法进行研究，给出曲线拟合MATLAB实现的源程序，并进行仿真测试，对测试误差进行分析。

1.2.1曲线拟合的思想

如果不要求所构造的函数精确的通过所有由离散数据所确定的离散点，而只要求是相对与同一函数类H中的其他函数而言达到最优的。

即我们希望找到一条曲线，既能反映给定数据的一般趋势又不至于出现局部较大波动。

在这种逼近方式下，只要构造的近似函数与被逼近函数在区间[a,b]上的偏差满足某种要求即可。

1.2.2多项式拟合

有时所给的数据点的分布并不一定近似的呈一条直线，这时若仍用直线拟合显然是不合适的，对于这种情况可以考虑用多项式拟合。

多项式方程的一般形式是：

（1-2-1）

解出多项式系数，可得到函数模型。

1.2.3利用Matlab的polyfit函数进行多项式拟合

在Matlab中曲线拟合的形式非常简单，他的形式是：

该拟合函数的结果将保证在数据点上的拟合值与数据值之差的平方和最小，满足最小二乘法则标准的最小二乘曲线拟合。

1.3论文结构

本文主要分为五章，第一章介绍本文的主旨和需要解决的问题的介绍，第二章介绍最小二乘法曲线拟合的基本理论和具体步骤，第三章通过MATLAB2012b的平台介绍MATLAB实现最小二乘曲线拟合的具体方法和步骤，第四章利用MATLAB的ployfit函数对一组矿山沉陷数据进行多项式曲线拟合，并对多项式拟合的精度进行分析，最后第五章对全文进行一个总结。

第二章数据曲线拟合

2.1测量数据

测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关信息的数据。

观测数据可以是直接测量的结果，也可以是经过某种变换后的结果。

任何观测数据总是包含信息和干扰两部分，采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差，是除了信息以外的部分，要设法予以排除或减弱其影响[4]。

2.2拟合模型

拟合模型是测量平差中常遇到的一种特殊的函数模型。

拟合模型是一种函数逼近型或是统计回归模型。

用一个函数去逼近所给定的一组数据，或者利用变量与变量之间统计相关性质给定的回归模型都属于拟合模型[4]。

拟合模型误差方程的组成举例：

1.在地图数字化中，已知圆上m个点的数字化观测值（i=1,2，……，m），设为等权独立观测试求该圆的曲线方程。

由于数字化观测值有误差，m个点并不在同一圆线上，需要在这些观测点上拟合一条最佳圆曲线，这就是拟合模型问题。

圆曲线的参数方程以平差值表示为

（2-2-1）

公式中为圆心坐标平差值，和分别为半径和矢径方位角的平差值，它们为平差的未知参数，故此例n=2m，t=3+m。

令=+，=+.

，.

=+，=+.

将上式线性化，最后得误差方程为

，

.（2-2-2）

式中，

.

2.在摄影测量学中，数字高程模型、GPS水准的高程异常拟合模型等，常采用多项式拟合模型。

已知m个点的数据是（i=1,2，……，m），其中是点的高程或高程异常（GPS水准拟合模型