五年级春季班第5讲平面几何教师版.docx

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五年级春季班第5讲平面几何教师版

第五讲平面几何

一．角：

1.锐角三角形：

三个角都为锐角

直角三角形：

有一个角为直角，另外两个角互余（和为）

钝角三角形：

有一个角为钝角

2.三角形三个内角和为

多边形内角和：

二．边：

1.等腰三角形：

只有两条边相等的三角形．且两底角相等

等边（正）三角形：

三条边都相等的三角形．且三个角都相等（）

2.三角形两边之和大于第三边．（两边之差小于第三边）

3.勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

4.三线合一：

等腰三角形底边的中线、高线、角平分线重合．

5.巧求周长：

平移法、割补法、标向法

三．面积：

1.公式法（格点法）

2.割补法

3.等积变形（五大模型）

例题1

【提高】如图，问：

的度数

【分析】．（2013年五春第六讲例1）

【集训】如图，在中，，求“？

”的度数．

【分析】如图，由于，可以将移动到，由于，，所以，又，而，所以四边形是等腰梯形，有，．

点评：

通过构造全等三角形来转化．

例题2

【提高】【集训】如图，则++++++=，则n=_________．

【分析】

例题3

【提高】智能机器猫从平面上的点出发．按下列规律行走：

由向东走厘米到，由向北走厘米到，由向西走厘米到，由向南走厘米到，由向东走厘米到，…，问：

智能机器猫到达点与点的距离是多少厘米？

【分析】厘米（2013年五春第六讲例2）

【集训】已知如图，一个六边形的个内角都是，其连续四边的长依次是厘米．求这个六边形的周长．

【分析】厘米（2013年五春第六讲拓展3）

例题4

【提高】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20分米、3分米、2分米．A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路是_________．

【分析】展开得到长方形，长方形的长为20分米，宽为15分米，AB为最短距离，为25分米．

【集训】如图，某会展中心在会展期间准备将高5米，长13米，宽2米的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？

【分析】地毯的面积是平方米，需要元．

例题5

【提高】

（1）求“乡村小屋”的面积是多少？

【分析】图形内部格点数；图形边界上的格点数；根据毕克定理，则（单位面积）．（2013年五春第六讲基1）

（2）把同一个三角形的三条边分别等分、等分（如图1，图2），然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图中阴影部分面积是平方分米，那么图中阴影部分的面积是______平方分米．

【分析】图1中阴影部分占整个三角形面积的，图2中阴影部分占整个三角形面积的，故图2中阴影部分的面积为（平方分米）．

【集训】如图相邻两个格点间的距离是，则图中阴影三角形的面积为．

【分析】．（2013年五春第六讲拓展4）

例题6

【提高】【集训】将边长分别为的正方形并排在一起（如图），一条与正方形的边平行的直线将该图形分为面积相等的两个部分，那么的长是多少？

【分析】．（2013年五春第六讲例5）

例题7

【提高】将边长分别为的正方形并排在一起（如图），直线将该图形分为面积相等的两个部分，那么的长是多少？

【分析】．（2013年五春第六讲尖1）

【集训】如图，大正方形被分成了面积相等的四块．若厘米，则大正方形的面积为平方厘米．

【分析】．（2013年五春第六讲例6）

例题8

【提高】在右图的长方形中，厘米，厘米．将此长方形的顶点与顶点重叠在一起折成五边形，则五边形的面积是平方厘米．

【分析】．（2013年五春第六讲拓展6）

例题9

【提高】如图所示，在四边形中，线段长为厘米，角为直角，角为，而且点到边的垂线的长为厘米，线段的长为厘米，求四边形的面积．

【分析】平方厘米（2013年五春第五讲提2）

【集训】如图，平面上是正方形，是等腰梯形，它的上底厘米，下底厘米．求三角形的面积．

【分析】如右图，作等腰梯形的两个高和，．易知，将旋转到的位置．则，，三点在一条直线上．，是的底边上的高．所以，三角形的面积为．

例题10

【提高】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?

【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：

最上一层只用了3根火柴；

从上向下数第二层用了3×2=6根；

从上向下数第二层用了3×3=9根；

……

从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630．

【集训】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？

【解析】通过观察每增加一层，恰好增加6根小棍，这6根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前1层用4根，前2层用4+6根，前3层用4+6×2根，前n层用4+6×（n-1）根，现在共用了60多根，应减去4是6的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有11层．

例题11

【提高】【集训】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？

【解析】首先可以知道题中所讲的长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．

下面分两种情况来分析：

第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的长方形（一横一竖）；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个长方形．

由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有个这样的长方形．

本题也可以这样来考虑：

事实上，每一行都有6个长方形，所以棋盘上横、竖共有长方形个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为个．

练习1

如图，，求和．

【分析】．（2013年五春第六讲拓展1）

练习2

如图，八边形的个内角都是，已知，求的长度

【分析】（2013年五春第六讲例3）

练习3

科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点．则B点与A点的距离是（）米．

【分析】

为5米．

练习4

已知中，，的面积是，是上任意一点，到的距离分别是，那么．

【分析】．（2013年五春第六讲练习6）

练习5

（第五届“华杯赛”试题）正六边形的面积是平方厘米．是中点，是中点，是中点．问：

三角形的面积是多少平方厘米？

【分析】将正六边形分成六个面积为平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为个小正三角形．于是正六边形被分成了个小正三角形，每一个小正三角形的面积是（平方厘米），三角形由个小正三角形所组成，所以三角形的面积（平方厘米）．

练习6

把边长为厘米的正方形沿对角线截成两个三角形，在两个三角形内按图示剪下两个内接正方形，则的面积之差是平方厘米．

【分析】．（2013年五春第六讲基2）

练习7

孙老师用一张梯形纸做折纸游戏．先上下对折，使两底重合，可得如下左图，并测出为重叠部分的两个三角形面积和是平方厘米．然后再将左图中两个小三角形向内翻折，得到右图．经测算，右图的面积相当于图的．这张梯形纸的面积是平方厘米．

【分析】平方厘米．（2013年五春第六讲练习3）

练习8

如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．

【解析】分三类进行计数（设小正三角形边长为1）包含*的三角形中，

边长为1的正三角形有1个；

边长为2的正三角形有4个；

边长为3的正三角形有1个；

因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有（个）．