新领航教育特供北京市石景山区届高三上学期期末考试 数学理试题.docx
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新领航教育特供北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题
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石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理）
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，,,则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以,所以，选B.
2.若复数,,则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，选A.
3．为平行四边形的一条对角线，（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为所以，即，选D.
4.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则⊥
D．若，则
【答案】C
【解析】C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】本程序为分段函数，当时，由得，，所以。
当时，由，得。
所以满足条件的有3个，选C.
6．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）
A．60种B．63种C．65种D．66种
【答案】A
【解析】若四个数之和为奇数，则有1奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数。
若1奇数3个偶数，则有种，若3个奇数1个偶数，则有，共有种，选A.
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
8.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，
即，．给出如下四个结论：
①；②； ③；
④整数属于同一“类”的充要条件是“”．
其中，正确结论的个数为（ ）．
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，①正确。
，所以②不正确。
③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。
整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则；
若点，则的最大值为.
【答案】2；6
【解析】如图不等式组对应的平面区域为三角形，由图象知。
其中，所以所以三角形的面积为，所以。
由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线截距最大，此时也最大，把代入得。
10．如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于．
【答案】
【解析】设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以。
11．在等比数列中，，则公比，
【答案】
【解析】在等比数列中，所以，即。
所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。
12．在中，若，则边上的高等于．
【答案】
【解析】由余弦定理得，即整理得，解得。
所以BC边上的高为。
13．已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为．
【答案】9
【解析】由双曲线的方程可知，设右焦点为，则。
，即，所以，当且仅当三点共线时取等号，此时，所以，即的最小值为9.
14.给出定义：
若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④函数在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是．
【答案】
【解析】中，令，所以。
所以正确。
②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。
，所以周期为1，正确。
④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。
，所以正确的为
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
16．（本小题共14分）
如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
17．（本小题共13分）
甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.
18．（本小题共13分）
已知函数是常数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；
（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；
（Ⅲ）讨论函数零点的个数．
19．（本小题共14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）若直线不过点，求证：
直线的斜率互为相反数．
20．（本小题共13分）
定义：
如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的
“保三角形函数”，求的取值范围；
（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?
（解题中可用以下数据:
）
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
C
A
B
C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
2；6
9
（9题、11题第一空2分,第二空3分）
三、解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
（Ⅰ）因为，所以.
所以函数的定义域为……………2分
……………5分
……………7分
（Ⅱ）因为，所以……………9分
当时，即时，的最大值为；……………11分
当时，即时，的最小值为.………13分
16．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：
在△中，
.又.
由
.…………………………4分
（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系．……………………5分
．
设为平面的一个法向量，
因为
所以，
令，得.
所以为平面的一个法向量．……………………7分
设与平面所成角为．
则．
所以与平面所成角的正弦值为．…………………9分
（Ⅲ）设,则
…………………12分
当时,的最小值是．
即为中点时,的长度最小,最小值为．…………………14分
17．（本小题共13分）
记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有
且相互独立.
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
.…………………3分
（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有
＝，…………………5分
所以，.……………………7分
（Ⅲ）的所有可能取值为.……………………8分
所以，
，
，
=＝.……………………11分
分布列为：
……………………12分
所以，.………………13分
2．（本小题共13分）
（Ⅰ）…………………1分
，，所以切线的方程为
，即．…………………3分
（Ⅱ）令则
↗
最大值
↘
…………………6分
，所以且，，，
即函数的图像在直线的下方．…………………8分
（Ⅲ）令，.
令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，的最大值为.
所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分
若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.
若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：
直线与曲线有一个交点）.
若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.
综上所述，当时，无零点；
当或时，有且仅有一个零点；
当时，有两个零点.…………………13分
19．（本小题共14分）
（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，
又因为，所以，解得，
故椭圆方程为．…………………4分
（Ⅱ）将代入并整理得，
解得．…………………7分
（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．
设，，
则．…………………9分
所以直线的斜率互为相反数．…………………14分
20．（本小题共13分）
（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。
因为，显然有，
由得
解得.
所以当时，
是数列的保三角形函数.…………………3分
（Ⅱ）由，得，
两式相减得，所以…………………5分
经检验，此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列.………ks5u……8分
（Ⅲ）,ks5u
所以单调递减.
由题意知，且,
由得，解得,
由得，解得.
即数列最多有26项.……ks5u……13分
【注：
若有其它解法，请酌情给分．】
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