版高考数学一轮总复习几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质练习理选修41含答案.docx

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版高考数学一轮总复习几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质练习理选修41含答案

第一节　相似三角形的判定及有关性质

【最新考纲】　1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行线截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理．

1．平行线等分线段定理

（1）定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

（2）推论1：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

（3）推论2：

经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

2．平行线分线段成比例定理

（1）定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

（2）推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

3．相似三角形的判定

（1）定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．

（2）预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

（3）判定

定理1：

两角对应相等，两三角形相似．

定理2：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

定理3：

三边对应成比例，两三角形相似．

4．相似三角形的性质

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

（2）相似三角形周长的比等于相似比．

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．

（4）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．

5．直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等．（　　）

（2）两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两个三角形相似．（　　）

（3）三角形相似不具有传递性．（　　）

（4）相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（2014·广东卷改编）如图所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．

解析：

因为ABCD的平行四边形，所以AB∥DC，且AB＝DC，于是△CDF∽△AEF，且＝＝3.

因此＝＝9.

答案：

9

3．如图，D是△ABC中BC边上一点，点E，F分别是△ABD，△ACD的重心，EF与AD交于点M，则＝________．

解析：

连接AE，AF，并延长交BC于G，H.

因为点E，F分别是△ABD，△ACD的重心，

所以＝＝2，

所以EF∥GH，所以＝2.

答案：

2

4．如图所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．

解析：

∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED，

又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠P为公共角，

所以△PDE∽△PEA，

∴＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.

答案：

5．（2015·广东卷）如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝2，则AD________．

解析：

由切割线定理，EB·（AB＋EB）＝EC2

又AB＝4，CE＝2

∴EB2＋4EB＝12，解得EB＝2.

连接OC，由题意得OC∥AD.

所以△EOC∽△EAD.

∴＝＝，则AD＝3.

答案：

3

一个关键

平行线发线段成比例定理、射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键．

两个防范

1．防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应；

2．防止应用射影定理时，线段的位置记错．

三种方法

判定三角形相似有三种常用的方法：

1．两组对应角分别相等，两三角形相似；

2．一组对应角相等，且角的两边对应成比例，两三角形相似．

3．三边对应成比例，两三角形相似．

1．如图所示，已知：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：

AB·BM＝AM·BN.

证明：

∵在Rt△ACM中，

CM2＝MN·AM，

又∵M是BC的中点，即CM＝BM，

∴BM2＝MN·AM，∴＝，

又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN，

∴＝，∴AB·BM＝AM·BN.

2．（2014·陕西卷改编）如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长．

解：

连接EC，BF，如图所示．

由题设，四边形BCFE为圆的内接四边形．

因此∠AEF＝∠ACB，∠AFE＝∠ABC.

所以△AEF∽△ACB，于是＝

又AC＝2AE，BC＝6

所以EF＝3.

3．如图所示，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：

DF2＝GF·HF.

证明：

∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，

∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，

∴△AFH∽△GFB.∴＝，

∴AF·BF＝GF·HF.

因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，

所以DF2＝GF·HF.

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED，CB延长线交于一点F.

求证：

FD2＝FB·FC.

证明：

∵E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，

∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，

∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，

∴∠FBD＝∠FDC，

∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，

∴＝，∴FD2＝FB·FC.

5．（2016·贵阳质检）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：

AC＝2AD.

证明：

连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，

所以∠ADO＝∠ACB＝90°.

又因为∠A＝∠A，

所以Rt△ADO∽Rt△ACB.

所以＝.

又BC＝2OC＝2OD，

故AC＝2AD.

6．（2016·大连模拟）如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连结CD.

求证：

（1）∠EDF＝∠CDF；

（2）AB2＝AF·AD.

证明：

（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形．

∴∠CDF＝∠ABC.

又∠ADB与∠EDF是对顶角．

∴∠ADB＝∠EDF.

又∠ADB＝∠ACB，

∴∠EDF＝∠CDF.

（2）由

（1）知∠ADB＝∠ABC.

又∵∠BAD＝∠FAB，

∴△ADB∽△ABF，

∴＝，∴AB2＝AF·AD.

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：

（1）△ABC≌△DCB；

（2）DE·DC＝AE·BD.

证明：

（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.

∵AB＝DC，BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB.

（2）∵△ABC≌△DCB，

∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，

∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，

∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.

∴DE∶BD＝AE∶DC，

∴DE·DC＝AE·BD.

8．（2016·河北衡水中学调研）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.

（1）求的值．

（2）若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值．

解：

（1）过点D作DG∥BC，并交AF于G点，

因为E是BD的中点，所以BE＝DE.

又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，

所以△BEF≌△DEG，则BF＝DG，

所以BF∶FC＝DG∶FC.

又因为D是AC的中点，则DG∶FC＝1∶2，

则BF∶FC＝1∶2，即＝.

（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，

则由

（1）知BF∶BC＝1∶3，

又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，

其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，

则＝×＝，则S1∶S2＝1∶5.