多维随机变量题库Word格式.docx
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3）由F（x,y）的几何意义，可将F（0.5,0.5）理解为（X,Y）落在{X0.5,Y0.5}区域（见如图G1）上的概率。
故有
#00004
已知（X,Y）的分布函数为求FX（x）与FY（y）。
*00004
FX（x）=F（x,）=
FY（y）=F（,y）=
#00005
（X,Y）的分布函数如2.1.求X及Y的边缘概率密度。
*00005
解法1：
可先求出（X,Y）的概率密度，再由式（3.2.1）和（3.2.2）求出X与Y的边缘概率密度
解法2：
2.1.已算出了FX（x）及FY（y），则
fX（x）=F'
X（x,）=fY（y）=FY'
（y）=
#00006
已知（X,Y）的分布律为
x\y
求X、Y的边缘分布律
*00006
由式（3.2.5）可得：
pi.
2/5
3/5
p.j
#00007
已知（X,Y）的分布函数为问X与Y独立吗？
*00007
故Ｘ与Ｙ不独立。
#00008
已知随机变量（X,Y）的分布律为
x
2
0.15
且知X与Y独立，求、的值。
*00008
首先，+=1-0.15-0.15=0.7
又X与Y独立，由定理3.2.3.=（+）（0.15+）=0.35
=0.7-0.35=0.35
#00009
甲乙约定8:
009:
00在某地会面。
设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟，过时不候。
求两人能见面的概率。
*00009
设甲于8点零Ｘ分钟到达、乙于8点另Ｙ分钟到达。
由题意，Ｘ与Ｙ独立且ＸU（0,60）（分）,YU（0,60）（分）,两人能见面等价于｜Ｘ－Ｙ｜<
15。
为求p{|X-Y|<
15}需求出（X,Y）的概率密度。
由定理3.2.2.
图
#00010
（X,Y,Z）的概率密度为
试判断（X,Y,Z）的独立性。
*00010
A=6
求各一维边缘密度函数
fX（x）=
类似可得
fX（x）fY（y）fZ（z）==f（x,y,z）
故X，Y，Z相互独立。
#00011
设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与下一代只数Y的联合分布律。
*00011
本题已知随机变量X的分布律Pi:
P{x=i}=
由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X=i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布，即Y|X=iB（I,0.8）,故有
又由式（3.3.2）,P{X=i,Y=j}=P（Y=yj|X=xi}P{X=xi},于是，（X,Y）的分布律为：
#00012
已知（X,Y）的概率密度为
（1）求条件概率密度fy|x（y|x）
（2）求条件概率P{Y>
1/3|X=-1/3}
*00012
解:
（1）
由式（3.3.5）当-1<
x<
1，x1时
#00013
已知随机变量X与Y独立，其分布律分别为
X
Y
-1
pX
0.4
0.6
PY
0.2
0.3
0.5
分别求随机变量Z=max（X,Y），与W=X-Y的分布律。
并求（Z,W）的分布律。
*00013
作下表，表中第一行是自变量（X,Y）的全部可能取值点；
第二行是第一行各取值相应的概率；
第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。
（X，Y）
（1,-1）
（0,-1）
（1,0）
（0,0）
（1,1）
（0,1）
Pi,j
0.08
0.12,
0.12
0.18
Z=max（X,Y）
W=X+Y
从上表可以确定Z的取值域为{0,1},W的取值域为{-1,0,1,2}.函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。
例如
P{Z=0}=0.12+0.18=0.3
于是，Z、W的分布律分别为：
Z
W
PZ
0.7
PW
0.26
0.42
#00014
设二维随机变量（X,Y）在矩形域G={（x,y）|0<
y<
1}上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。
*00014
此题显然是已知（X,Y）的分布，求S=XY的概率密度问题。
（X,Y）的概率密度为
图3.4
S的分布函数为FS（s）=P{Ss}=P{XYs}
当s0时，FS（s）=0
当s2时，FS（s）=1
现在，设0<
s<
2,曲线xy=s与矩形G的上边教育点（s,1）;
位于曲线xy=s上方的点满足xy>
s,位于曲线xy=s下方的点满足xy<
s,于是
FS（s）=P{Ss}=P{XYs}=1-P{XYs}
=
于是
#00015
设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求Z=X+Y的概率密度。
*00015
由题意，随机变量X、Y的概率密度分别为：
，
由（3.4.3）式，随机变量Z=X+Y的概率密度为：
故ZN（0,2）
一般地，设X1,X2,…Xn独立，且XiN（i,i2）则
#00016
设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N（1000,1002）的随机变量，求这100件产品的总成交价不低于9.9万元的概率。
*00016
设第i件产品的成交价为Xi,则XiN（1000,1002），i=1,2,…n
又由于X1,X2,…Xn独立,总成交价，故有
故总成交价不低于9.9万元的概率为84.13%
#00017
设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2串联而成并，设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为
其中>
0，>
0,试写出L的寿命Z的概率密度．
*00017
由于当L1，L2中有一个损坏时，系统L就停止二作，所以这时L的寿命为
Z=min（X,Y）
由已知得，X、Y得分布函数分别为
Z＝min（X，Y）的分布函数为
于是，Z＝min（X，Y）的概率密度为
#00018
设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2并联而成并，设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为
*00018
由于当且仅当都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命Z为
Z的分布函数为
FZ（z）=FX（z）FY（z）=
于是，Z=max（X,Y）的概率密度为
#00019
（12分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（1）求常数C；
（2）求关于X和关于Y的边缘密度函数；
*00019
解
（1）根据得
（4分）
（2）（8分）
（12分）
#00020
（2）求；
（4）求（X，Y）的联合分布函数；
（5）求Z=X+Y的密度函数；
（6）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数；
（7）求P（X+Y<
1）。
*00020
（2）（8分）
（12分）
#00021
（16分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（2）求（X，Y）的联合分布函数；
*00021
（2）当x<
0或y<
0时，（6分）
当时，
（8分）
当时
因此（X，Y）的联合分布函数为
（16分）
#00022
（2）求Z=X+Y的密度函数
*00022
（2）根据两个随机变量和的密度函数公式
（6分）
得当z<
0时，，而当z≥0时
（10分）
因此
（12分）
#00023
（14分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（2）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数
*00023
0时，。
当x≥0时，
（6分）
即
（8分）
所以随机变量M=max（X，Y）的密度函数为
当x<
0时，
（12分）
因此m的密度函数为
（14分）
#00024
*00024
（1）根据得
#00025
（10分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（2）求P（X+Y<
*00025
（10-分
#00026
设随机变量X与Y相互独立，且同服从[0，1]上的均匀分布，试求：
Z=|X-Y|的分布函数与密度函数
*00026
先求Z的分布函数
Z的密度函数为
（12分）
#00027
求（U，V）关于U和关于V的边缘密度函数；
*00027
关于U的边缘密度为
（9分）
关于V的边缘密度函数为
#00028
（12分）设随机变量X与Y相互独立，且同服从[0，1]上的均匀分布，试求：
求U与V的相关系数。
并判断X与Y是否不相关。
*00028
（9分）
因X与Y独立且同分布，所以DX=DY，因而Cov（U
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