多维随机变量题库Word格式.docx
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3)由F(x,y)的几何意义,可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在{X0.5,Y0.5}区域(见如图G1)上的概率。
故有
#00004
已知(X,Y)的分布函数为求FX(x)与FY(y)。
*00004
FX(x)=F(x,)=
FY(y)=F(,y)=
#00005
(X,Y)的分布函数如2.1.求X及Y的边缘概率密度。
*00005
解法1:
可先求出(X,Y)的概率密度,再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X与Y的边缘概率密度
解法2:
2.1.已算出了FX(x)及FY(y),则
fX(x)=F'
X(x,)=fY(y)=FY'
(y)=
#00006
已知(X,Y)的分布律为
x\y
求X、Y的边缘分布律
*00006
由式(3.2.5)可得:
pi.
2/5
3/5
p.j
#00007
已知(X,Y)的分布函数为问X与Y独立吗?
*00007
故X与Y不独立。
#00008
已知随机变量(X,Y)的分布律为
x
2
0.15
且知X与Y独立,求、的值。
*00008
首先,+=1-0.15-0.15=0.7
又X与Y独立,由定理3.2.3.=(+)(0.15+)=0.35
=0.7-0.35=0.35
#00009
甲乙约定8:
009:
00在某地会面。
设两人都随机地在这期间的任一时刻到达,先到者最多等待15分钟,过时不候。
求两人能见面的概率。
*00009
设甲于8点零X分钟到达、乙于8点另Y分钟到达。
由题意,X与Y独立且XU(0,60)(分),YU(0,60)(分),两人能见面等价于|X-Y|<
15。
为求p{|X-Y|<
15}需求出(X,Y)的概率密度。
由定理3.2.2.
图
#00010
(X,Y,Z)的概率密度为
试判断(X,Y,Z)的独立性。
*00010
A=6
求各一维边缘密度函数
fX(x)=
类似可得
fX(x)fY(y)fZ(z)==f(x,y,z)
故X,Y,Z相互独立。
#00011
设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布,又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的,求此昆虫的产卵数X与下一代只数Y的联合分布律。
*00011
本题已知随机变量X的分布律Pi:
P{x=i}=
由题意易见,该昆虫下一代只数Y在X=i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布,即Y|X=iB(I,0.8),故有
又由式(3.3.2),P{X=i,Y=j}=P(Y=yj|X=xi}P{X=xi},于是,(X,Y)的分布律为:
#00012
已知(X,Y)的概率密度为
(1)求条件概率密度fy|x(y|x)
(2)求条件概率P{Y>
1/3|X=-1/3}
*00012
解:
(1)
由式(3.3.5)当-1<
x<
1,x1时
#00013
已知随机变量X与Y独立,其分布律分别为
X
Y
-1
pX
0.4
0.6
PY
0.2
0.3
0.5
分别求随机变量Z=max(X,Y),与W=X-Y的分布律。
并求(Z,W)的分布律。
*00013
作下表,表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点;
第二行是第一行各取值相应的概率;
第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。
(X,Y)
(1,-1)
(0,-1)
(1,0)
(0,0)
(1,1)
(0,1)
Pi,j
0.08
0.12,
0.12
0.18
Z=max(X,Y)
W=X+Y
从上表可以确定Z的取值域为{0,1},W的取值域为{-1,0,1,2}.函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。
例如
P{Z=0}=0.12+0.18=0.3
于是,Z、W的分布律分别为:
Z
W
PZ
0.7
PW
0.26
0.42
#00014
设二维随机变量(X,Y)在矩形域G={(x,y)|0<
y<
1}上服从均匀分布,试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。
*00014
此题显然是已知(X,Y)的分布,求S=XY的概率密度问题。
(X,Y)的概率密度为
图3.4
S的分布函数为FS(s)=P{Ss}=P{XYs}
当s0时,FS(s)=0
当s2时,FS(s)=1
现在,设0<
s<
2,曲线xy=s与矩形G的上边教育点(s,1);
位于曲线xy=s上方的点满足xy>
s,位于曲线xy=s下方的点满足xy<
s,于是
FS(s)=P{Ss}=P{XYs}=1-P{XYs}
=
于是
#00015
设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度。
*00015
由题意,随机变量X、Y的概率密度分别为:
,
由(3.4.3)式,随机变量Z=X+Y的概率密度为:
故ZN(0,2)
一般地,设X1,X2,…Xn独立,且XiN(i,i2)则
#00016
设某公司有100件产品进行拍卖,每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,1002)的随机变量,求这100件产品的总成交价不低于9.9万元的概率。
*00016
设第i件产品的成交价为Xi,则XiN(1000,1002),i=1,2,…n
又由于X1,X2,…Xn独立,总成交价,故有
故总成交价不低于9.9万元的概率为84.13%
#00017
设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2串联而成并,设L1,L2的寿命分别为X与Y,已知它们的概率密度分别为
其中>
0,>
0,试写出L的寿命Z的概率密度.
*00017
由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止二作,所以这时L的寿命为
Z=min(X,Y)
由已知得,X、Y得分布函数分别为
Z=min(X,Y)的分布函数为
于是,Z=min(X,Y)的概率密度为
#00018
设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2并联而成并,设L1,L2的寿命分别为X与Y,已知它们的概率密度分别为
*00018
由于当且仅当都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命Z为
Z的分布函数为
FZ(z)=FX(z)FY(z)=
于是,Z=max(X,Y)的概率密度为
#00019
(12分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
(1)求常数C;
(2)求关于X和关于Y的边缘密度函数;
*00019
解
(1)根据得
(4分)
(2)(8分)
(12分)
#00020
(2)求;
(4)求(X,Y)的联合分布函数;
(5)求Z=X+Y的密度函数;
(6)求M=max(X,Y)和m=max(X,Y)的密度函数;
(7)求P(X+Y<
1)。
*00020
(2)(8分)
(12分)
#00021
(16分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
(2)求(X,Y)的联合分布函数;
*00021
(2)当x<
0或y<
0时,(6分)
当时,
(8分)
当时
因此(X,Y)的联合分布函数为
(16分)
#00022
(2)求Z=X+Y的密度函数
*00022
(2)根据两个随机变量和的密度函数公式
(6分)
得当z<
0时,,而当z≥0时
(10分)
因此
(12分)
#00023
(14分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
(2)求M=max(X,Y)和m=max(X,Y)的密度函数
*00023
0时,。
当x≥0时,
(6分)
即
(8分)
所以随机变量M=max(X,Y)的密度函数为
当x<
0时,
(12分)
因此m的密度函数为
(14分)
#00024
*00024
(1)根据得
#00025
(10分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
(2)求P(X+Y<
*00025
(10-分
#00026
设随机变量X与Y相互独立,且同服从[0,1]上的均匀分布,试求:
Z=|X-Y|的分布函数与密度函数
*00026
先求Z的分布函数
Z的密度函数为
(12分)
#00027
求(U,V)关于U和关于V的边缘密度函数;
*00027
关于U的边缘密度为
(9分)
关于V的边缘密度函数为
#00028
(12分)设随机变量X与Y相互独立,且同服从[0,1]上的均匀分布,试求:
求U与V的相关系数。
并判断X与Y是否不相关。
*00028
(9分)
因X与Y独立且同分布,所以DX=DY,因而Cov(U