高考数学复习教学案专题概率与统计学生版Word格式.docx
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(1)组合与组合数
(2)组合数公式
C===.
(3)组合数的性质
①C=1;
②C=;
③C+C=C.
6.排列与组合问题的识别方法
识别方法
排列
若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取元素顺序有关
组合
若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取元素顺序无关
7.二项式定理
(1)定理:
(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*).
(2)通项:
第k+1项为:
Tk+1=Can-kbk.
(3)二项式系数:
二项展开式中各项的二项式系数为:
C(k=0,1,2,…,n).
8.二项式系数的性质
9.概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).
10.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含
关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等
若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等
A=B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A+B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥
事件
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=∅;
P(A∪B)=P(A)+P(B)=1
11.理解事件中常见词语的含义:
(1)A,B中至少有一个发生的事件为;
(2)A,B都发生的事件为AB;
(3)A,B都不发生的事件为;
(4)A,B恰有一个发生的事件为A∪B;
(5)A,B至多一个发生的事件为A∪B∪.
12.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率:
P(E)=1.
(3)不可能事件的概率:
P(F)=0.
(4)概率的加法公式:
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
13.互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
14.基本事件的特点
(1)任意两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
15.古典概型
(1)定义:
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
②每个基本事件出现的可能性相等.
(2)古典概型的概率公式:
P(A)=.
16.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
(2)几何概型的概率公式:
17.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)==.
(2)条件概率具有的性质:
①0≤P(B|A)≤1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
18.相互独立事件
(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.
(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
19.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
20.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
X
x1
x2
…
xi
xn
P
p1
p2
pi
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质:
①pi≥0(i=1,2,…,n);
②pi=1.
21.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布:
若随机变量X服从两点分布,则其分布列为
1
1-p
p
其中p=P(X=1)称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布列.
m
(3)二项分布
①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
②在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.
22.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
<
1>
均值:
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2>
方差:
称D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.
3>
均值与方差的性质
(a,b为常数).
4>
两点分布与二项分布的均值、方差
X服从两点分布
X~B(n,p)
E(X)
p(p为成功概率)
np
D(X)
p(1-p)
np(1-p)
23.正态分布:
若随机变量的概率密度函数可以表示为,则称服从正态分布,记为,其中.
24.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值;
(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;
σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
(7)正态分布的三个常用数据(不需记忆)
①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.
25.简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等,就称这样的抽样方法为简单随机抽样.
(2)常用方法:
抽签法和随机数表法.
26.系统抽样
(1)步骤:
①先将总体的N个个体编号;
②根据样本容量n,当是整数时,取分段间隔k=;
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);
④按照一定的规则抽取样本.
(2)适用范围:
适用于总体中的个体数较多时.
27.分层抽样
在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.
28.三种抽样方法的比较
类别
各自特点
相互联系
适用范围
共同点
简单随机抽样
从总体中
逐个抽取
最基本的抽样方法
总体中的个体数较少
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
系统
抽样
将总体平均分成几部分,按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时,采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层
将总体分成几层,按各层个体
数之比抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
29.作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).
(2)决定组距与组数.
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表.
(5)画频率分布直方图.
30.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图:
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线:
随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
31.茎叶图
统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.
32.样本的数字特征
(1)众数:
一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.
(2)中位数:
把n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数.
(3)平均数:
把称为a1,a2,…,an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差:
设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,则这组数据
标准差为s=
方差为s2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
33.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类:
一类是函数关系,另一类是相关关系;
与函数关系不同,相