极射赤平投影文档格式.docx

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当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。

5.小圆：

只是球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。

当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；

当平面水平常，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；

当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。

6.极射点：

投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。

由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；

由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上

的投影称为上半球设影。

一样采纳下半球投影。

7.极点：

通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。

铅直线交球面上、下两个点（也确实是极射点）；

水平直线交基圆上两点；

倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。

（二）平面的赤平投影

平面与球面相交成大圆或小圆，咱们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。

1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而转变：

倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；

直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；

水平面的赤平投影确实是基圆（如图一中的NESW）。

2.只是球心平面的赤平投影也随平面倾斜而转变：

直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；

倾斜平面的赤平投影有以下三种情形：

⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全数在基圆之内（如图三FG）；

⑵当倾斜小圆全数位于上半球时，投影也是一个圆，但全数在基圆之外；

⑶当倾斜小圆一部份在上半球，另一部份在下半球时，赤平面以下部份的投影在基圆之内，以上部份的投影在基圆之外。

当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；

水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。

（三）直线的赤平投影

直线AB的投影点确实是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。

铅直线的投影点位于基圆中心；

过球心的水平直线的投影点确实是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；

倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°

（如图五）。

（四）吴氏网及其CAD制作

目前普遍利用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。

等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；

等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。

二者的要紧区别在于：

球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。

而在施氏网上的投影那么呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所组成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。

利用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精准。

而利用施氏网时，能够作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点散布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。

1.吴氏网的结构及成图原理

吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。

标准吴氏网的基圆

直径为20cm，经、纬线间的角距为2°

。

（1）基圆，由指北方向（N）为0°

顺时针方向刻出360°

，这些刻度起着量度方位角的作用；

（2）经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，别离向西和向东倾斜，倾角由0°

到90°

（角距距离为2°

）的许多赤平投影大圆弧所组成。

这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W点）的距离别离代表各平面的倾角。

如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜，倾角为30°

（3）纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。

这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，那么半径角距就愈大。

相邻纬向小圆弧间的角距也是2°

，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。

如图六所示，ED＝SH＝WG＝NF，角距都为30°

2.吴氏网的CAD图解

绘制吴氏网，其实质确实是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。

那么这些大圆弧和小圆弧都是如何是绘制出来的呢？

在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制进程很复杂。

而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是超级简的，下面就介绍它们的原理和绘制进程。

（1）绘制大圆弧的原理与步骤

要绘制大圆弧，应至少明白大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必需通过的，是已知点。

此刻只要能确信经向大圆弧与东西径线EW的交点B′，问题就迎刃而解。

①计算OB′长度

依照倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点B′之间的距离（公式一）

式中R——基圆的半径；

α——大圆弧所代表平面的倾角（°

）。

②以基圆的圆心为圆心，OB′长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交于B′点。

③过N、S、B′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部份，大圆弧也就绘制完成。

（2）绘制小圆弧的原理与步骤

要绘制半径角距为的小圆弧，一样也应至少明白小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B三个点）。

依照吴氏网的结构与原理，能够通过CAD制图确信A、C、B三个点的位置。

①确信点C，第一用公式一计算点O与点C间距离，但其中为小圆弧的半径角距；

然后以基圆的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线NS交于C点。

②以基圆的圆心为基点，将南北径线ON别离逆时针和顺时针旋转角度，得两条直线，别离与基圆交于A、B点。

③过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部份，小圆弧也就绘制完成。

三、赤平投影网CAD图解的应用

利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一样步骤是：

把透明纸（或透亮胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。

然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为0°

，顺时针数到360°

东西直径EW确信倾角，一样是圆周为0°

，至圆心为90°

如此做具有以下缺点：

一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；

三确实是准确性不高；

四是效率低。

若是用CAD制图，那么可幸免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。

1.平面赤平投影的CAD图解（如图七）

例1：

一平面产状126°

∠30°

，绘制其赤平投影图。

（1）绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、N。

后面的例子均需要这一步，画法与之相同，因此再也不重复。

（2）平面的偏向是126°

，那么其走向为36°

将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36°

抵达AB位置，与基圆交于A、B两点，那么AB确实是平面的走向线。

（3）以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126°

抵达OD位置，与基圆相交于点D，那么OD即为该平面的偏向线。

（4）用公式一计算线段OC长度。

以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD于C点。

（5）采纳三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部份，所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。

2.直线赤平投影的CAD图解（如图八）

例2：

一直线产状330°

∠40°

（1）将ON绕圆心O顺时针旋转330°

后抵达OA位置，与基圆交于点A，那么OA即为该直线的倾伏向。

（2）用公式一计算OA′值。

以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交OA于A′点，那么点A′即为该直线的赤平投影。

3.平面法线赤平投影的CAD图解（如图九）

例3：

一平面产状为105°

，绘制其法线的赤平投影。

（1）照例1所述方式，绘制产状为105°

平面的赤平投影大圆弧NB′S。

（2）平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°

，因此平面法线的倾角为50°

用公式一计算OA′。

以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交B′O的延长线于A′点，那么A′点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面的极点。

由于平面法线偏向与平面偏向相反，相差180°

，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°

，因此也可依照平面法线产状与平面产状间的这种关系，第一计算法线的产状为285°

∠50°

，然后再照例2方式绘制法线的赤平投影。

4.相交两条直线所组成平面的产状

例4：

已知两直线180°

∠20°

和90°

∠°

相交，用赤平投影法求解这两条直线所组成平面的产状（如图十（a）、（b））。

（1）为专门好地利用CAD制图解决那个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：

tan2βsin2γ=tan2α1+tanα2-2tanα1tanα2cosγ（公式二）

式中β——两条相交直线所组成平面的倾角（°

）；

α一、α2——别离为两条直线的倾伏角（°

γ——两条直线偏向夹角（°

用公式二计算两条直线所组成平面的倾角为β=°

（2）确信投影大圆弧的圆心O′，点O′应在线段C′F′的垂直平分线上。

要确信点O′的位置，需要用以下公式计算平面的赤平投影大圆弧的半径。

计算出赤平投影大圆弧的半径后，再以点C′或点F′为圆心画圆，与线段C′F′的垂直平分线相交于点O′。

（公式三）

式中R’——赤平投影大圆弧的半径;

R——基圆的半径。

（3）确信平面的走向AB：

以O′为圆心，以为半径画圆，与基圆相交于两点A、B，那么AB即为所求平面的走向，为30°

由此算出该平面的偏向为120°

因此所求平面产状为120°

∠36°

另外，两条直线所构所平面的偏向，也可由下式计算确信：

（公式四）

式中——平面偏向与直线1偏向之差；

其余符号意义同公式二。

5．相交两条直线的夹角及其角平分线

例5：

用赤平投影法求解例4两条直线的夹角及其角平分线（图十（c））。

（1）照例4作法，确信两条直线所组成平面的赤平投影，即大圆弧AF′C′B，其产状约为