高考天津理科数学试题及答案word解析版Word文档格式.docx

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（A）（B）1（C）（D）3

【答案】D

【解析】目标函数为四边形及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，故选D．

（3）

【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为

24，则输出的值为（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

【答案】C

【解析】依次为，，输出，故选C．

（4）

【2017年天津，理4，5分】设，则“”是“”的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，，，不满足，所以

是充分不必要条件，故选A．

（5）

【2017年天津，理5，5分】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）

（A） （B）（C）（D）

【解析】由题意得，故选B．

（6）

【2017年天津，理6，5分】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，，所以即，，所以，故选C．

（7）

【2017年天津，理7，5分】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则（）

（A）， （B），（C），（D），

【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．

（8）

【2017年天津，理8，5分】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】不等式为，当时，式即为，

，又（时取等号），

（时取等号），所以，当，式为

，，又（当时取等

号），（当时取等号），所以，综上，故选A．

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）

【2017年天津，理9，5分】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．

【答案】

【解析】为实数，则．

（10）

【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．

【解析】设正方体边长为，则，外接球直径为．

（11）

【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为．

【答案】2

【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点．

（12）

【2017年天津，理12，5分】若，，则的最小值为．

【答案】4

【解析】，当且仅当时取等号．

（13）

【2017年天津，理13，5分】在中，，，．若，，且，则的值为．

【解析】，，则

．

（14）

【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）

【答案】1080

【解析】．

三、解答题：

本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）

【2017年天津，理15，13分】在中，内角所对的边分别为．已知，，

（1）求和的值；

（2）求的值．

解：

（1）在中，，故由，可得．由已知及余弦定理，，

所以．由正弦定理，得．所以值为，的值为．

（2）由

（1）及，得，所以，．

故．

（16）

【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．

（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．，

，

，．

所以，随机变量的分布列为

1

2

3

随机变量的数学期望．

（2）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为．

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．

（17）

【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥中，底面，．点分别为棱的中点，是线段的中点，，．

（1）求证：

平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．

如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标

系．依题意可得，，，，，，，

（1），．设，为平面的法向量，则，

即．不妨设，可得．又，可得．

因为平面，所以平面．

（2）易知为平面的一个法向量．设为平面的法向量，则，

因为，，所以．不妨设，可得．

因此有，于是．二面角的正弦值为．

（3）依题意，设（），则，进而可得，．由已知，

得，整理得，解得，或．

所以，线段的长为或．

（18）

【2017年天津，理18，13分】已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，得，而，

所以．又因为，解得．所以，．由，可得①．

由，可得②，联立①②，解得，，由此可得．

所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．

（2）设数列的前项和为，由，，有，

故，，

上述两式相减，得

得．所以，数列的前项和为．

（19）

【2017年天津，理19，14分】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程；

（1）设的坐标为．依题意，，，，解得，，，．

所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．

（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故．

将与联立，消去，整理得，解得，或．

由点异于点，可得点．由，可得直线的方程为

，令，解得，故．

所以．又因为的面积为，故，整理得

，，．直线的方程为，或．

（20）

【2017年天津，理20，14分】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．

（1）求的单调区间；

（2）设，函数，求证：

；

（3）求证：

存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足．

（1）由，可得，可得．

令，解得，或．当x变化时，的变化情况如下表：

x

+

-

↗

↘

所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是．

（2）由，得，．

令函数，则．由

（1）知，当时，，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

因此，当时，，可得，．

令函数，则．由

（1）知，在上单调递增，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

因此，当时，，可得，．所以，．

（3）对于任意的正整数，，且，令，函数．

由

（2）知，当时，在区间内有零点；

当时在区间内有零点．

所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．

由

（1）知在上单调递增，故，

于是．因为当时，，

故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故．

又因为，，均为整数，所以是正整数，

从而．．只要取，就有．

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