高考数学排列组合常见题型文档格式.doc
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（A）3×
3！
（B）3×
（3！
）3（C）（3！
）4（D）9！
C
相离问题（插空法）
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法
【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯=10
种方法。
说明：
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决.
【例4】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.
练习1：
（2014辽宁）6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A.144 B.120 C.72 D.24
D
练习2：
停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9
个空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方法.
练习3:
某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6
项工程的不同排法种数是
依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有
＝20种不同排法。
元素分析法（位置分析法）
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；
再排其它的元素。
【例1】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；
所以共有种。
.
有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】法一：
（从元素分析）法二：
（从位置分析）
法三：
（2010山东理）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：
节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
（A）36种 （B）42种 （C）48种 （D）54种
B
多排问题（单排法）
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
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【例1】
（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种B、120种C、720种D、1440种
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种
（2）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.
定序问题（缩倍法）
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）高☆考♂资♀源€网☆
【解析】：
种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
法一：
法二：
．从1，2，3，…，9九个数字中选出三个不同的数字a，b，c，且a＜b＜c，作抛物线
y＝ax2＋bx＋c，则不同的抛物线共有条（用数字作答）．
标号排位问题（不配对问题）
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，
依次即可完成.（常用树状图）
【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种B、9种C、11种D、23种高☆考♂
【解析】B
同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有（）
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）
A10种B20种C30种D60种
不同元素的分配问题（先分堆再分配）注意平均分堆的算法。
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
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（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5）分给5人每人至少1本。
（1）
（2）（3）（4）（5）
将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种
【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）
（A）150种 （B）180种 （C）200种 （D）280种
+＝150，选A
四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
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5人到一个5层居民楼调查，每人随机选一层，且选每个楼层可能性相等，则恰好只有3个楼层有人调查，且没有被调查的2层不相邻的安排方法有多少种？
【解析】
（1）、先将5人分组，可分为3+1+1或2+2+1
（2）、将3组排成一列，会产生4个空，对这4空选2个进行插空。
即共有种排法。
练习3：
（2016合肥一模理10）某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为
A.B.C.D.
【解析】，选A
练习4：
（2015合肥三模理8）某校计划高一年级四个班级开展研学旅行活动，初选了A,B,C,D四条不同路线，每个班级只能在这四条线路中选择一条，且同一线路最多只能有两个班级选择，则不同的选择方案有（）
A．240种B．204种C．188种D．96种
【解析】答案B。
选4条线路时有种,选3条线路时有种,选2条线路时有种.
相同元素的分配问题（隔板法）
【例1】：
10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆
至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
故共有不同的分配方案为种.高☆考♂资♀源€网☆
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【例2】把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17
个球分成3份，转化为每份至少一球，运用隔板法，共有种放法。
（2012合肥二模理9）50台完全相同的校车发放给10所学校，每校至少2台，则不同发放方案有____种。
如图为73方格，每个方格均为正方形，则图中共有多少个矩形?
（1）三元一次方程所有正整数解有多少个?
（2）三元一次方程所有非负整数解有多少个?
（1）
（2）
【例3】：
将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。
各有、、种方法。
3、由分步计数原理可得=720种
多面手问题（分类法---选定标准）
有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、
日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日
语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
【解析】：
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走楼梯问题（分类法与插空法相结合）
【例】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】
：
插空法解题：
考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。
（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着：
相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种（b）两次三级不挨着：
相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中
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