高考天津卷理科数学含答案Word格式.doc
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在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设全集为R，集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
（A）6（B）19（C）21（D）45
（3）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）已知，，，则a，b，c的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
（6）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
（A）在区间上单调递增 （B）在区间上单调递减
（C）在区间上单调递增 （D）在区间上单调递减
（7）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（8）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.若点E为边CD上的动点，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）i是虚数单位，复数.
（10）在的展开式中，的系数为.
（11）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为.
（12）已知圆的圆心为C，直线（为参数）与该圆相交于A，B两点，则的面积为.
（13）已知，且，则的最小值为.
（14）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是.
三.解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（I）求角B的大小；
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（II）设a=2，c=3，求b和的值.
（16）（本小题满分13分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
（17）（本小题满分13分）
如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：
；
（II）求二面角的正弦值；
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（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°
，求线段DP的长.
（18）（本小题满分13分）
设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
（19）（本小题满分14分）
设椭圆（a>
b>
0）的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：
与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
若（O为原点），求k的值.
（20）（本小题满分14分）
已知函数，，其中a>
1.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
参考答案：
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）B
（2）C （3）B （4）A
（5）D （6）A （7）C （8）A
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
（9）4–i （10） （11）
（12） （13） （14）
三、解答题
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．
（Ⅰ）解：
在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．
（Ⅱ）解：
在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．
由，可得．因为a<
c，故．因此，
所以，
（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．学.科网
由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）解：
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
随机变量X的数学期望．
（ii）解：
设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1），故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=．
所以，事件A发生的概率为．
（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．
（Ⅰ）证明：
依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=（x，y，z）为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．
依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．
设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．
设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．
因此有cos<
m，n>
=，于是sin<
=．
所以，二面角E–BC–F的正弦值为．
（Ⅲ）解：
设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．
易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故
，
由题意，可得=sin60°
=，解得h=∈［0，2］．
所以线段的长为.
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
（I）解：
设等比数列的公比为q.由可得.
因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得由，
可得从而故
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，故
.
（ii）证明：
因为
所以，.
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．
设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>
y2>
0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组
消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．
所以，k的值为
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>
1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
x
+
极小值
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.
（II）证明：
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以a为底的对数，得，所以.
（III）证明：
曲线在点处的切线l1：
曲线在点处的切线l2：
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.学*科网
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得.③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.
设函数，即要证明当时，函数存在零点.
，可知时，；
时，单调递减，又
，，故存在唯一的x0，且x0>
0，使得，即
由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.
因为，故，
所以.
下面证明存在实数t，使得.
由（I）可得，
当时，
有，
所以存在实数t，使得
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
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